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上一篇我们讲述了线段旋转90°后点的坐标怎么求,旋转学会了,那对称呢?如果只利用初中知识,你能求出点关于直线的对称点的坐标吗?
问题:求点A(3,0)关于直线y=2x的对称点B的坐标.
首先我们要在平面直角坐标系中画出直线y=2x的图形,描出点A,然后作出点A的对称点B
显然直接由图形看出B点坐标不太可能,事实上添加网格后我们可以看出,点B的横坐标和纵坐标都不是整数。
思路
我们首先能想到两条基本思路:
①同上篇初中数学:线段旋转90°后点的坐标怎么求?把求点的坐标转化为求线段长,利用数形结合思想;
②如果直接求线段长有难度,不妨先把B点坐标设出来,两个未知数只要能找到两个方程就可以解出来,此处利用了方程组的思想,列方程需要等量关系,等量关系又要从图形关系上找,也要用到数形结合思想。
解答
如图,设AB与直线y=2x的交于点D,分别过B、D作x轴的垂线,分别交x轴于点C、E。
按照思路①,如果能求出BC和OC长度,就可以得到B点坐标,但已知点坐标只有点A,此路不通。
换思路②,设B(a,b).
列方程我们可以把B点坐标当已知点来用,现在知道了A和B两个点的坐标,只需找到两个等量关系。
等量关系一:AB中点D在直线y=2x上
由中点坐标公式,可得 D((3+a)/2,b/2),代入y=2x
得 b/2=a+3 ……方程①
等量关系二:tanB=tan∠DOE
易证△AOD∽△ABC,
∴∠B=∠DOE
∴tanB=tan∠DOE=2
∵AC=3-a,BC=b
∴3-a=2b ……方程②
联立方程①②,可得 a=-9/5,b=12/5
∴B(-9/5,12/5)
小结
1、点的坐标与线段可相互转化
已知点的坐标可求出相应线段长度,已知线段长度也可得出对应点的坐标。
2、方程与函数思想的运用
设出未知点的坐标,列方程组求解也是一种惯用的方法,另外在某些题中还会构造函数来求最值。
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