要想学好微积分，吃透“极限”概念是必要条件

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数学分析是国内数学专业本科阶段的专业基础课，其中的内容包含着微积分；而其他理工科的学生会学习包含微积分内容的高等数学，同样作为基础课程。无论是数学分析，还是高等数学，最重要和基础的一个概念就是极限。要想学好微积分，透彻地理解极限的概念和思维方法。首先，简单说一下极限的发展背景。

萌芽

在17世纪之前，数学发展属于常量数学时期或者初等数学阶段，几何与代数的发展相对独立，这段时间发展的数学被大量用于初等、中等教育。然而在初等数学时期，人们对运动和无限，存在着思维的障碍，比如芝诺悖论，比如无限大、无穷大或无限接近。阿基米德曾使用正多边形去逼近圆，然后求得圆周率。从直观上来讲，正多边形无论外切，还是内接，随着边数的增加，其面积和边长都可以无限的接近。但是这个无限接近是缺乏数学描述和论证的，科研可以始于直觉思维，但落脚必须要严谨，正因此，这种直觉的“极限”方法很难迁移、用于其他地方。直到数学发展到解析几何，人们有了变量的思维，代数和几何得到统一，对运动及其轨迹问题有了数学函数或方程的描述，分别促使牛顿和莱布尼茨在运动和几何的角度，引入了微积分。自此又经过200多年，直到柯西等人将分析严密完备化。

要学好高等数学或微积分，就是要学好、吃透“极限”的概念，必须要有这种思维的转换，这种转换是造成学习困难的最大障碍。想想数学从常量数学到变量数学发展跨越1000余年，经典数学分析的严密化也花费几代数学家几百年时间，而你要想通过一年半载吃透，没点难度的话，也说不过去呀！所以，学习的心态、态度要摆正，遇到困难大可不必沮丧，除非你也是个天才。

充满“极限”的微积分

微积分中处处充满着辩证的矛盾：常量与变量、收敛与发散、有限与无限、近似与精确、连续与间断、微分与积分等，而所有的这些概念无不与“极限”相关。极限首先从离散的数列开始入手讨论，定义数列极限，数列是收敛还是发散，收敛数列的性质，收敛准则等等；再讨论函数的极限，从定义入手，迁移了数列极限的思路，讨论了函数极限的性质等，数列与函数通过海涅原则得到连接；又由于连续函数的定义域可以是实数集，而数列可以看成是定义在正整数集上的函数，由于这种差别，函数引入了连续和一致连续，依然是通过极限来定义，然后给出了连续函数的有界、零点或介值、最值的性质；为进一步研究函数的性质，继续通过极限定义了函数的导数和微分，引入了求导法则和微分中值定理，用于讨论函数的单调性、极值或最值、凸性等问题，还讨论了函数可导与连续的关系；依然是辩证法的使用，考虑函数微分的逆运算，引入了不定积分，介绍了不定积分的计算方法和几类可积函数；最后通过极限定义了定积分，然后介绍可积条件、性质，包括定积分中值定理和计算方法等内容，注意定积分采用的定义是黎曼可积，还有一种稍有区别，但适用范围更广的勒贝格积分定义，如此时具有可数间断点的函数可积；结合积分区间的无限性或函数的无界性，又引入了无穷积分和瑕积分；无论是哪种积分，都是通过极限定义，微积分的学习过程中，充满极限，引入了很多概念，因此对极限的理解要深刻、透彻，证明极限的方法要尤其熟练掌握，这是最基本的基本功，可以使用等价代换、分步法、放大法来证明极限问题，熟练掌握和使用极限基础上引入的新概念。

上面介绍的连续、一致连续、微分和积分，全部是考虑的一元函数，将一元函数迁移到多元函数，得到偏微分、重积分、含参变量的积分、多重积分等等内容。而级数作为一个相对独立的内容，先从数列级数入手，然后迁移函数项级数，讨论了收敛判别准则等内容，全部与极限紧密相关。由此看来，吃不透“极限”的思路和概念，是绝无可能学好微积分的！

除了上述内容，数学系的学生还要花大力气掌握：确保实数系完备性的基本定理，包括其证明的思路和方法，都极具启发性。

通过极限描述了连续性、单调性、有界性、可导和可积性、收敛性等等问题，在理解和消化的过程中，除了理解这些概念，掌握性质定理、判别原则，还需要有举反例质疑的能力，比如：可导是连续的充分而非必要条件，一个反例就能得到肯定。当然了这个反例，刚刚接触微积分的同学很难给出，要知道，对处处连续但不可微的“病态函数”，数学史上也曾有过争议。

在微积分的思想上，继续发展产生了新的数学分支：常微分方程论、偏微分方程论、微分几何、复变函数论、解析数论等。这种思想在数学发展中占据着主导地位，不仅仅是在数学的后续、高年级课程，即使在其他的理工科的后续学习中，微积分都是不可缺少的工具，真可谓成也微积分，败也微积分。