什么是信号带宽？

“带宽”这个术语在许多情况下已被滥用。我记得在一次会议上，这个词被用来指：特定信号的频率组成、特定电路的频率响应、局域网的速度，甚至组织的人数。“我们现在没有足够的带宽来处理这些工作。”也许没人注意到这些，但我发现它很有意思。

信号带宽

工程师会问“这个信号需要多少带宽？”通常，这一问题涉及确保信号可以通过一个组件或系统传输、并在信号质量没有降低的情况下传输到另一端。

图1显示了信号通过带宽有限的系统的情况。如图所示，系统有足够的带宽来传递信号且保持不变，这通常是期望的结果。当然，如果信号的频率组成超过系统的带宽，则输出信号质量可能显著降低。

图1：尽管系统带宽有限（低通滤波器），但足够传输信号而不失真。

如果我们谈论的是基本的正弦波形，“带宽是多少？”这一问题的答案可能显而易见：1GHz正弦波需要至少1GHz的系统带宽才能有效传输。如果我们使用-3dB点来描述系统带宽，响应将在该频率下衰减。例如，如果我使用1GHz示波器查看1GHz正弦波，所显示的波形幅度可能是实际值的70％（-3dB），具体取决于示波器带宽的裕量。

数字信号甚至更具挑战性，因为它们包含与波形的快速上升边缘相关的高频成分。Eric Bogatin在《Rule of Thumb #1:Bandwidth of a signal from its rise time》中解释了信号的上升时间与其带宽之间的关系。简单地说：

其中t_r是上升时间(10%，90%)，f_3dB是3dB带宽。

这个等式对于具有单极低通响应的系统（想想“低通RC电路”）来说是精确的，对于许多性能良好的系统来说也是相当接近的。我最近发现了一篇Tektronix的老文章，讨论了垂直放大器响应和上升时间。文章展示了这两个阶跃响应图，一个是理想化的“高斯响应”，另一个是典型的低通RC电路（见图2）。

图2：高斯阶跃响应和低通RC电路阶跃响应。

我发现相关的评论很有意思，因为它们描述了上升时间和过冲（overshoot）之间的设计权衡。（因子K对应于上式中的0.35）：

真正的高斯响应解析为tr•bw=0.32。由于几个因素的影响，示波器放大器不能满足真正的高斯响应要求。因此，“高斯”电路基本上是接近高斯的。通过多年研究得出的经验乘积定义了这些“高斯”电路。对于更高的高斯响应，t_r•bw=0.35~0.45。较高的乘积表明上升时间缩短。但是，上升时间减少也伴随有过冲发生。0.45的乘积会导致5％的过冲，当t_r•bw=0.35时，阶跃响应中的过冲很小（如果有的话）。Tektronix通常将乘积设置在K=0.35，牺牲上升时间以实现最小过冲。

K是品质因数，有时也称为上升时间带宽积（RTBP）。近年来，随着示波器制造商将可用带宽的上限推向新高，有时可以实现仪器响应的更陡滚降，而RTBP也发生了相应的变化。例如，Keysight UXR 110GHz示波器使用0.44的因数来指定10％/90％的上升时间。

回到正弦波

看完这一数字示例后，我一直在思考简单的正弦波。上升时间最适用于阶跃函数或方波，但它也可以应用于正弦波（虽然我承认它有点牵强）。考虑一个幅度为1、峰峰值幅度为2的正弦波（图3）。

图3：在此示例中，正弦波的上升时间是峰峰值幅度的10％到90％之间的时间。

我们来计算波形从负峰值的90％变为正峰值的90％所需的“上升时间”。如图所示，该上升时间为t₂–t₁。由于波形的对称性，可以看到：

这看起来不是那么有趣。相同的值0.35显示出正弦波频率和上升时间之间的关系。仔细观察会发现它略有不同：单极点情况下是0.356而不是0.350。0.35这一数字似乎有些特别，但还没达到普适常数（例如光速）的水平。