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”因为不同视角下的特征空间不属于同一流形“，翻译看上去挺通顺的，但是，对于关键词manifold的理解不够透彻，遂学习一下。

什么是流形

流形学习认为我们所能观察到的数据实际上是由一个低维流行映射到高维空间的。由于数据内部特征的限制，一些高维中的数据会产生维度上的冗余，实际上这些数据只用比较低的维度就能唯一的表示。所以，一个流形好比是一个d维的空间，在一个m维的空间中（m>d）被扭曲之后的结果。

例子

需要注意的是流形并不是一个形状，而是一个空间。举个例子来说，比如说一块布，可以把它看成一个二维的平面，这是一个二维的空间，现在我们把它扭一扭（三维空间），它就变成了一个流形，当然不扭的时候，它也是一个流形，欧式空间是流形的一种特殊情况。

再比如对于一个球面上的一点（其实就是三维欧式空间上的点），可以用一个三元组来表示其坐标：

但事实上这三维的坐标只由两个变量θ和φ生成的，也可以说成是它的自由度是2，也正好对应了它是一个二维的流形。

重要性

流形具有在局部与欧式空间同胚的空间，也就是它在局部具有欧式空间的性质，能用欧式距离来进行距离计算。这就给降维带来了很大的启发，若低维流形嵌入到了高维空间，此时样本在高维空间的分布虽然复杂，但在局部上仍具有欧式空间的性质，因此可以在局部建立降维映射关系，然后再设法将局部映射关系推广到全局。而且当数据被降维到二维和三维时，就可以进行可视化，因此流形学习也可以被用于可视化。

参考：https://www.cnblogs.com/jiangxinyang/p/9314256.html