中考数学两点距离公式的经典运用，抛物线上的等腰三角形问题

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中考数学压轴常见题型之一，抛物线上的等腰三角形的存在性问题，其实就是坐标平面内两点的距离公式的运用问题。例如下题：

如图,抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(-1,0),B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A，点B重合)，过点P作直作PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.

①当PE=2ED时，求P点的坐标；

②是否存在点P使△BEC为等腰三角形，假设存在请直接写出点P的坐标，假设不存在，请说明理由.

分析：(1)求抛物线的解析式，最笨的方法就是列出关于三个系数的三元方程组去求解。当然也很实用。这里可以设抛物线的交点式，更加简便。然后代入B点的坐标，其纵坐标m是可求的。

(2)①只要设P点的坐标，就可以得到E点相关的坐标，然后用两点距离公式列方程求解就可以了。注意，方程会涉及绝对值，因为P点可能在E点的上方，也可能在E点的下方。

②等腰三角形的存在性问题，肯定要分类讨论，通常有三种情形，即三角形的任意两条边相等的三种情况。并且根据两点的距离公式，列得三个方程，从而解得每种情形下的答案。或许有某些情形，可以用其它更简便的方法求解，但很难保证三种情形都能用简便的方法求解。因此建议全部利用两点的距离公式列方程求解。而且这三种情形是相互依存的。这也是中考数学两点距离公式最经典的运用。下面组织解题过程：

解：(1)依题意，可设抛物线解析式为：y=a(x+1)(x-5),

m=4+1=5，

将B(4,5)代入抛物线的解析式得：5=a(4+1)(4-5), 解得a=-1.

∴抛物线解析式为：y=-(x+1)(x-5)=-x^2+4x+5. 【化为一般形式不是必须的，而是为了下面运用的方便】

(2)设P(p, -p^2+4p+5), 则E(p,p+1)，【这两点的坐标，下面两个问题都要用到，所以写在第(2)小题解的主干中，有多少人会注意到这些细节呢？数学学习，对细节的要求是很高的。】

①当PE=2ED时, |(-p^2+4p+5)-(p+1)|=2|p+1|, 【水平或竖直方向上的两点距离，直接用两点的横纵标或纵坐标的距离表示，即两个坐标的差的绝对值】

当(-p^2+4p+5)-(p+1)=2(p+1)时，解得：p=2或p=-1(舍去), -p^2+4p+5=9. 【这是点P在点E的上方的情形】

当(-p^2+4p+5)-(p+1)=-2(p+1)时，解得：p=6或p=-1(舍去), -p^2+4p+5=-7.【这是点P在点E的下方的情形】

∴P(2,9)或P(6,-7).

②存在. P(0,5)或(4+根号13,-8-4根号13)或(4-根号13,-8+4根号13)或(3/4,119/16).

【按题目的要求，其实下面的解题内容是可以不写入试卷中的】

若CE=CB, 则(p-5)^2+(p+1)^2=(4-5)^2+5^2, 【所列方程其实是CE^2=CB^2，下同】

解得：p=0或p=4(舍去),-p^2+4p+5=5；

若BE=CB,则(p-4)^2+(p+1-5)^2=26,【CB的平方上面其实已经算出来了】

解得：p=4+根号13, 或4-根号13；-p^2+4p+5=-8-4根号13或-8+4根号13.

若BE=CE,则2(p-4)^2=(p-5)^2+(p+1)^2, 【又在上面的基础上，直接得到BE^2的最简表达式，所以说三种情形是相互依存的，也可以先求出CE，CB，和BE关于p的表达式，然后再列三个方程】

解得：p=3/4, -p^2+4p+5=5=119/16.

所以P(0,5)或(4+根号13,-8-4根号13)或(4-根号13,-8+4根号13)或(3/4,119/16).

多练一练，中考遇到这种题，就可以轻松地迎刃而解了。