流形，卡拉比-丘流形，宇宙流形，深奥的概念，通俗的解释

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莫比乌斯环

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流形是局部看起来像欧几里得空间的曲面。例如,球面局部看是平的,但全局是曲面的。流形研究曲面或高维空间的性质。

流形的概念是一种抽象的数学对象，它可以用来描述一些复杂的空间或结构，它们在局部看起来像欧几里得空间，但在整体上可能有不同的形状或性质。你可以把流形想象成一些弯曲的曲面，比如球面、圆环、莫比乌斯带等，它们都是二维的流形，因为它们在局部看起来像平面，但在整体上有不同的拓扑结构。流形也可以有更高的维度，比如三维的流形就是在局部看起来像三维空间的空间

卡拉比-丘流形是一种特殊的流形，它具有一些额外的性质和结构，使得它在物理学中有重要的应用。卡拉比-丘流形是一种复杂的流形，它不仅在局部看起来像欧几里得空间，而且还具有复数的性质，也就是说，它可以用复数来描述和计算。卡拉比-丘流形还具有零曲率的性质，也就是说，它是平坦的，没有弯曲或扭曲。卡拉比-丘流形还具有对称性和稳定性，也就是说，它不会随着微小的变化而改变自己的形状或性质。

卡拉比-丘流形是一类特殊的流形,它满足以下三个条件:

1. 里奇平坦:微观上局部近似平坦,和普通的流形一样。卡拉比-丘流形里面的里奇平坦，可以理解为微观上近似平坦，宏观上有曲率。
2. 紧致:这个流形是闭合紧密的,没有“边界”或“洞”，平滑的，处处可微分的。
3. 完备:任意两点间有最短路径

卡拉比-丘流形的“紧致”条件包含两层意思:

• 拓扑紧致 – 空间是闭合的,不存在“边界”。
• 微分紧致 – 空间上的坐标映射是光滑的,处处可微分。

对卡拉比-丘流形来说,不仅要求其作为拓扑空间是紧致的,并且作为流形,其局部坐标映射也需要是光滑的,以保证可以进行微分运算。

也就是说,卡拉比-丘流形不仅要求连续闭合(拓扑紧致),还要求可微分(微分紧致)

类似地球的二维弯曲闭合的球体表面（球面是二维的卡拉比-丘流形），宇宙如果被视为四维空间的三维弯曲闭合的表层,并且满足上面三个条件,那么它可以视为三维的卡拉比-丘流形。

卡拉比-丘流形与普通流形的区别就像一个完美的球体与一个不规则的球体的区别一样。一个完美的球体是一个二维的卡拉比-丘流形，它在局部看起来像平面，在整体上是圆滑、对称、平坦、稳定的。一个不规则的球体是一个二维的普通流形，它在局部看起来也像平面，在整体上却是凹凸不平、不对称、弯曲、易变的。你可以想象一个篮球和一个地球就是这样的例子。

莫比乌斯环边缘和克莱因瓶在连接处不可微分，不是二维卡拉比-丘流形。

完美的球面当然也是二维卡拉比-丘流形。

空心圆是一维的卡拉比-丘流形。

克莱因瓶