数学中重要的一类函数——调和函数

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函数是数学的核心概念之一，围绕函数发展起来了许多重要的数学理论，而调和函数就是这样一类常见而重要的函数，它出现在数学的方方面面，在物理中也有重要应用，可以说，调和函数既是重要的研究对象，更是强大的数学工具。今天我们就简单地介绍一下调和函数，以此窥探数学的奥妙。

我们很难追溯调和函数的具体起源，但起码在19世纪，调和函数已经是重要且被广泛应用的数学概念。那么何谓调和函数呢？首先我们要定义拉普拉斯算子：

拉普拉斯算子的作用就是对不同的自变量求二阶偏导数，然后相加得到一个关于偏导数的函数，而调和函数就是那些经过拉普拉斯算子作用后等于零的函数，也就是满足下列条件的函数：

值得注意的是，定义调和函数前，我们要求这个函数起码是在R^n中某区域(也可以是实数空间R^n本身)上存在二阶偏导数的，而且往往也要要求n大于等于2。

那么我们为什么要研究调和函数？简而言之是因为它的性质实在是太好了，可以拿来做很多事。

调和函数的第一个惊人性质是它的解析性，也就是说，调和函数在定义域内每一点是可以进行无穷次泰勒展开的，这就意味着调和函数是光滑的，或者说无穷次可导的。为什么说这个性质好呢？注意到，定义调和函数时我们仅仅要求它存在二阶偏导数，但实际上这样的定义只用极少的要求就保证了函数的光滑性，可谓化腐朽为神奇。

但解析性并非调和函数的本质特征，实际上，调和函数的最本质的性质是满足所谓的平均值原理。而且为了获得调和函数更好的性质，一般我们会在有界区域中考虑这些问题，还会要求函数具有连续或可导的边值。那么，什么是平均值原理呢？简单来说，就是函数u在一点x的值等于函数在以x为中心的球区域中体积积分或面积积分的平均值(通过简单的积分计算可以证明，这两种积分平均值是等价的)：

为什么说平均值原理是调和函数最本质的特征呢，这是因为调和函数几乎所有的重要性质都可以从平均值原理推导出来，例如上面说过的解析性。而且更重要的是，平均值性质完全刻画了调和函数，这就是如下的结论：

调和函数的另一个重要性质是极值原理：

调和函数如果不是常数，那么它不能在内部取到极大值或极小值。

由极值原理，我们立即可以获知，调和函数由其边值唯完全决定：

如果我们从更高的角度来看调和函数，也就是将定义△u=0看成是一个偏微分方程(准确来说是一个拉普拉斯方程)，那么调和函数就是这个方程的解，而极值原理就告诉我们，在给定边值的情况下，解是唯一的。实际上，如果区域足够特殊(一般来说是球)的话，我们是可以通过边值条件直接得到这个解的，而这又要涉及到泊松积分，泊松积分又要联系着格林函数。

格林函数起源于物理中的场论，具体定义我们就不多说了，但它的作用就是拿来表示这种带有边值的方程的解。实际上，利用格林函数和拉普拉斯方程的基本解，我们得到调和函数的格林表示：

由于被积函数是光滑的，从格林表示我们再次获得了调和函数的光滑性。当区域是一个球时，由于区域特殊，我们可以利用几何中反演的方法得到相应格林函数的表达式，因而直接通过边值求解调和函数成为可能，这也就有了带有边值的调和函数的泊松积分表达式：

除此之外，调和函数还有一个非常好的性质，这就是调和函数序列良好的收敛性质。在学习数学分析的时候，级数和函数序列的收敛性是我们非常关注的概念，因为良好的收敛性可以保证极限函数也具有一些好的性质。而从之前我们所说过的平均值原理可以发现，调和函数序列恰恰拥有某些良好的收敛性：

一致收敛的调和函数序列的极限函数也是调和的。

进一步还可以证明：

从上面我们所讲述的东西我们可以看见，调和函数的确拥有众多其他函数所不具备的良好性质，因而调和函数成为了许多数学学科中常用的工具，例如我们说过的偏微分方程理论，数学物理方法等。不仅如此，“调和”这个概念也早已不再局限于实数空间上的函数，它可以轻松被推广到微分流形上，用来定义和研究流形上的调和函数。不仅如此，“调和”还可以用到更一般的微分形式上，由此与著名的“霍奇理论”产生了深刻地关联。当然，调和函数及其推广的应用完全不止说过的这些，但可以肯定是，它的确在数学中扮演着十分重要的角色。