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在中学《几何》中，甚至在小学《算术》中，我们都知道半径为R的圆的周长C=2ԅR，其中ԅ是圆周率，是常数。
那么这个圆的周长公式是怎样得到的呢？
一、极限思想和方法在定义圆的周长上的应用
我们会用直尺度量线段的长，从而也就会度量多边形的周长，因而多边形的周长是己知的。
但是在圆中圆周是一条封闭曲线，无法用直尺直接度量它的长。
图（1）
这样就出现了一个新问题：何谓圆的周长？也就是，怎样定义圆的周长？这是计算圆的周长的基础。
圆的周长是个未知的新概念。
我们知道，未知新概念必须建立在己知概念的基础之上。
那么怎样借助于已知的多边形的周长定义圆的周长呢？
图（2）
我国古代杰出的数学家刘徽创立了的“割圆术”，就是借助于圆的一串内接正多边形的周长数列定义了圆的周长。
其作法是：
首先作圆的内接正六边形，其次平分每个边所对的弧，作圆的内接正十二边形，以下用同样的方法，继续作圆的内接正二十四边形，圆的内接正四十八边形 …… 如图（3）所示。
图（3）
显然，不论正多边形的边数怎样多，每个圆的内接正多边形的周长都是已知的。于是，得到一串圆的内接正多边形的周长数列：
图（4）
其中通项
图（5）
表示第 n 次作出的圆的内接正
图（6）
边形的周长 。
那么这一串圆的内接正多边形与该圆周是什么关系呢？
刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣” 。
图（7）
很明显，当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时，这一串圆的内接正多边形将无限地趋近于该圆周，即它们的极限位置就是该圆周。
从内接的正多边形的周长说，当 n 无限增大时，这一串圆的内接正多边形的周长数列
图（7）
将渐趋稳定于某个数 L 。换句话说，“割之弥细”，用圆的内接正多边形的周长近似代替圆的周长，而圆的周长“所失弥少”，当“割之又割，以至于不可割”，即圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时，这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体”，此时，这一串圆的内接正多边形的周长数列
图（8）
稳定于某个数 L ，L 就应该是该圆的周长。
只有在无限的过程中，才能真正作到“无所失矣”。
根据上述分析：
圆的周长可以这样定义：若圆的内接正多边形的周长数列
图（9）
稳定于某个数“L”（当n无限增大时），则称“L”是该圆的周长。
因此在无限过程中，由直边形的周长数列得到了曲边形的周长，这就是极限的思想和方法在定义圆的周长上的应用。
二、数列的极限
定义：设有数列 {an} ，a 是常数 。若对任意 ε > 0 ，总存在自然数 N ，对任意的自然数 n > N ，有
∣an – a∣ < ε ,
则称数列 {an} 的极限是 a （或 a 是数列 {an} 的极限）或数列 {an} 收敛于 a （ {an} 是收敛数列），表示为
图（10）
若数列 {an} 不存在极限，则称数列 {an} 发散 。
ε —— N 语言定义数列极限的定义：
图（11）
例题1、证明
例题1图（1）
证明
例题1图（2）
解得 n > 1/ε -1 . 取 N = [ 1/ε -1 ] . 于是 ，
例题1图（3）
收敛数列的性质：
定理1、（唯一性）若数列 {an} 收敛，则它的极限是唯一的 。
定理2、（有界性）若数列 {an} 收敛，则数列 {an} 有界 ，即
定理2图
定理3、（保序性）
定理3图
收敛数列的四则运算
定理4、若数列 {an} 与 {bn} 都收敛，则和数列 {an + bn} 也收敛 。
定理5、若数列 {an} 与 {bn} 都收敛，则乘积数列 {anbn} 也收敛 。
定理6、若数列 {an} 与 {bn} 都收敛，且 bn ≠ 0 , bn 的极限也不等于0 ， 则商数列 {an / bn} 也收敛 。
收敛数列的四则运算图
收敛数列的判别法
定理7、（两边夹定理）设 {an} , {bn} , {cn} 是三个数列 。
定理7图
公理（实数连续性）单调有界数列存在极限 。
定理8、（柯西收敛准则）
定理8图
三、函数的极限
1、当 x →∞ 时，函数 f（x）的极限
定义：设函数 f（x）在 {x∣ ∣x∣> a} 有定义，b 是常数 。
函数极限图（1）
称函数 f（x）（当 x → ∞ 时）存在极限或收敛，极限是 b ，或收敛于 b ，表为
函数极限图（2）
注：当自变数 ∣x∣无限增大时，有两种情况：一是 x → -∞ ；二是 x → +∞ ，极限的分析语言有所表示不同。
函极限图（3）
例题2、证明
例题2图（1）
证明：
例题2图（2）
解得 x < lgε（限定 0 < ε < 1），取 A= -lgε > 0 。于是 ，
例题2图（3）
2、当 x → a 时，函数 f（x）的极限
定义：设函数 f（x）在邻域
函数极限图（1）
函数极限图（2）
则称函数 f（x）（当 x → a 时）存在极限，极限是 b ，或 b 是函数 f（x）在 a 的极限，表为
函数极限图（3）
这就是函数在一点极限的 ε——δ 定义 。
注：函数 f（x）在 a 的极限和在 a 左、右极限的区别，列表如下
函数极限图（4）
例题3、证明
例题3图（1）
证明：
例题3图（2）
解得 ∣x – 1∣ < ε/2 ，取 δ = ε/2 . 于是 ，
例题3图（3）
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