首先让我们来做一个简短的回顾:

矩阵乘法可以理解为一个特定的线性变换, 矩阵的列向量相当基向量 i: (1,0) 和 j: (0,1) 经过变换过后的到达向量.

(原谅我用鼠标进行的标注吧)

空间变换后的任何向量都可以由矩阵 A 的列向量线性表出, 而这些所有可能的结果, 也就是矩阵的列所张成的列空间(Column Space).

原先的空间经过这样2×2 矩阵 A 线性变换后的空间可能会三种情况:

• 还是平面 -仍是二维空间;

• 被压缩为一条线 – 变成了一维;

• 被压缩到原点 – 零维;

在数学专业的词汇来表示线性变换后空间的维数, 称之为矩阵的秩( Rank ) . 换句话说, 列空间就是矩阵的列所张成的空间. 所以矩阵秩的另一种定义可以说是列空间的维数. 经过变换后被压缩到原点的向量集合, 称为矩阵 A 的“零空间”(Null Space)或”核”(Kernel), 记为 Null(A) 或 Ker(A).

对照上面的三种情况, 来分别来观察.

第 1 种情况: 变换后仍是平面

观察要点:

• 如果经过矩阵 A 变换后的结果是一个平面, 则 rank( ) = 2, 空间没有被压缩扁平化, 因此可逆, 称之为非奇异矩阵;

• 这样秩与列数相等, 称之为满秩(Full Rank)矩阵.

• 对于满秩矩阵来说, 变换后唯一落在原点的就是零向量本身, 也就是 dim Ker( ) = 0;

第 2 中情况: 变换后被压缩为一条直线

• 当变换的结果是一条直线, 该矩阵是一维的, 称rank(A) = 1, 此时矩阵不可逆, 称为奇异矩阵;

• 这样非满秩矩阵, 会将空间压缩到更低的一维直线上, 也就是由嫩绿色直线上一系列的向量在变换后成为零向量;

• 零空间的维度为 1, dim Ker(A) = 1;

第 3 种情况: 变换压缩到原点

• 当变换的结果是压缩到原点, 则该矩阵是零维的, 称 rank(A) = 0;

• 而零空间维度为 2, dim Ker(A) = 2;

维数定理

假设 A 是 mxn 矩阵(非方阵的情况, 下次会介绍), 维数定理就是:

dim Ker(A) + rank(A) = n

相信如果理解透彻 2×2 矩阵的情况, 那更高维的矩阵也就清楚了.

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!