圆锥曲线是高中解析几何的重点和难点，运算量之大，相信所有经历过的学生都有感触，而正因为代数运算之繁琐，更使得代数思维在圆锥曲线这个舞台上，有了极大的发挥空间。

最早研究圆锥曲线的集大成者是古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～190年），阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中将圆锥曲线的性质几乎网罗殆尽。当然，那个时候还没有平面直角坐标系，更没有解析几何的概念，但其著作中已经有了坐标制的思想，直到1800多年后的17世纪，笛卡尔建立坐标系，创立解析几何后，对圆锥曲线的研究才有了进一步的扩展。

阿波罗尼奥斯（约公元前262～190年）

高中阶段对圆锥曲线的学习，还处于非常基础的阶段，圆锥曲线的性质可以列出数百条，本文仅对高考考点中涉及的椭圆的部分性质进行汇总。（双曲线及抛物线的性质另文详述，欢迎大家持续关注）

注：以下仅讨论焦点在x轴上的椭圆性质。

椭圆定义

1.第一定义

平面内与两定点F1、F2的距离的和为常数2a的动点P的轨迹叫做椭圆，其中2a>|F1F2|。此为课本上的标准定义，不再详述。

2.第二定义

平面内到定点F（±c，0）的距离和到定直线l：x=±a²/c的距离之比为常数e=c/a（0<e<1）的点的轨迹是椭圆。其中定点F（±c，0）为椭圆的左右焦点，定直线l：x=±a²/c为椭圆的左右准线。

对第二定义给出证明：

以右焦点和右准线为例：

上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。

椭圆方程

1.椭圆标准方程

不再详述。

2.椭圆参数方程

其中θ为参数，θ的几何意义如下图：

以椭圆长轴和短轴为直径分别做圆，针对椭圆上任一点M，分别向大圆与小圆做垂线，垂足分别为A，B，则ABO三点共线，∠AOx即为参数θ。

切线

1.椭圆切线定理

椭圆的任意一条切线与切点处的两条焦半径所成的角相等。

如图，F1、F2为椭圆两焦点，AB为椭圆切线，P为切点，则∠APF1=∠BPF2。PT为P点法线，则PT为焦点三角形PF1F2的一条角平分线。

证明从略，该性质在高考中应用较少，但其揭示了椭圆的一条光学性质，该性质在高中数学课本上也有提及，即从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，在另一个焦点汇聚

2.椭圆切线方程

过椭圆上一点P（x0，y0）的切线方程为：

以下用求导方法给出证明：

上述证明过程用到了隐函数求导，高中范围不涉及该知识点，有兴趣的同学可以尝试用二次函数判别式推导。

3.椭圆切点弦方程

过椭圆外一点，做椭圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B的切点弦方程为：

直径

过椭圆中心的弦被称为椭圆的直径。长轴是椭圆最长的直径，短轴为椭圆最短的直径。

1.椭圆直径性质

椭圆上的点与椭圆直径两端点连线的斜率（如果存在的话）之积是定值，定值为e²-1。

特别的：椭圆上任意点到长轴（或短轴）两端点连线斜率之积是定值e²-1。

2.椭圆直径长

椭圆直径长公式为：

其中k为直径所在直线斜率。该公式请同学们自行推导。

特别的：当k=0时，上式结果为2a，即为长轴；当k趋于无穷大时，上式结果为2b，即为短轴。

焦半径

1.焦半径长

焦半径长：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex（F1，F2分别为左右焦点）

通过准线定义证明，过程略。

2.焦半径性质

以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切。

证：设以PF1为直径的圆的圆心为O1，则圆O1半径为r1=(a+ex)/2，

以长轴为直径的圆的圆心为坐标原点O，圆O半径为r=a，

两圆心距离|OO1|=(a-ex)/2=r-r1，

故以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆内切。

同理可证，PF2同样成立。

3.焦点弦长公式

焦点弦长公式为：

其中k为焦点弦所在直线斜率。该公式请同学们自行推导。

特别的：当k=0时，上式结果为2a，即为长轴；当k趋于无穷大时，上式结果即为通径长：2b^2/a

4.焦点三角形

焦点三角形面积公式：

证明从略。

其他

1.判别式

直线方程y=kx+m与椭圆方程联立后的，关于x的二次方程的判别式：

2.一般弦长公式

椭圆一般弦长公式：

上述公式推导过程从略，显然，当m=0时，公式退化为直径公式，m=±kc，即直线过焦点时，公式退化为焦点弦公式。

文|高见远，转载请注明出处。