大家好，欢迎来到IT知识分享网。
上一篇文章认识了椭圆函数，这是在19世纪数学圈风靡一时的研究对象。十九世纪真是数学的黄金时代啊，各种新思想涌现，前面文章说道数学家发现某些积分无法写成初等函数的形式，而数学是追求永恒真理的学问，找不到不代表没有，于是法国数学家刘维尔证明了椭圆积分的非初等性。刘维尔是和一对数学精灵阿贝尔、伽罗华同时代的人物，但他的命运就好多了。都道是天才薄命，所以跟天才阿贝尔和伽罗华为相比，就称刘维尔数学大师吧。
刘维尔与阿贝尔、伽罗华是有一些交集的，多亏了刘维尔，在悲情的伽罗华因决斗去世14年后，刘维尔从伽罗华的手稿中领悟了其天才的思想，将其整理发表在极有影响的《纯粹与应用数学》杂志上，才使得伽罗华的名字被数学界知晓。
在我以前的文章《你知道如何构造出一个超越数吗》里刘维尔的名字就出现过，他的一个重要定理表明了：一个代数数无法用有理数很好地逼近，而超越数可以，这个定理给出了判断一个数是否是超越数的重要方法，并且构造出了第一个超越数：刘维尔数，刘维尔在超越数、超越函数方面颇有研究。
证明椭圆积分的非初等性和证明五次以上方程无代数解有相似之处，对于后者熟悉的人知道伽罗华建立了伽罗华扩张，在证明椭圆积分的非初等性过程中，刘维尔也建立了初等函数的扩张塔。椭圆积分中的刘维尔定理是这样表达的。
对于上面这个定理，爱思考的读者可能会想到两个问题：
（1）既然初等函数包括三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数这样的超越函数，那为什么在初等函数扩张的时候，只体现了指数函数和对数函数，那三角函数和反三角函数消失了？
（2）g(z)为什么可以写成这样的形式？
为了解释第一个问题，数学中最美的方程：欧拉方程就要登场了，它将指数函数和三角函数联系了起来。
欧拉函数中令 z=π ,则得到数学中最漂亮的等式
它被评为 2003 年全世界自然科学界十大最美公式中的第一名，e(自然常数)、π（圆周率）、i（虚数单位）、1（自然数单位），这四个数恰好是数学中最重要的四个常数。
这就是为什么初等函数扩张，三角函数消失了，因为它们可用复指数替代。
关于第二点问题，为了凑出g(z)的形式，有理函数域中的f(z)写成
对它进行不定积分就是g(z)了。
接下来用刘维尔定理证明第一类椭圆积分的非初等性，过程比较繁琐，其方法与证明根号二是无理数类似，用反证法，假设第一类椭圆积分是初等函数，推出矛盾。即证明下面这个方程不成立：
免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://yundeesoft.com/98686.html
