机械设计常用的数学公式汇总（3）之曲线方程

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今天更新一些机械设计常用的曲线及其方程。做参数设计的时候使用频率较高。摆脱那种用气缸堆砌的设计方法，这个是必须的。话不多说，请继续往下看：

1、圆

1）标准形式圆形

(1)标准形式圆形的曲线图

(2)标准形式圆形的方程式

A、角坐标方程

圆心O(0，0)，半径 R

B、极坐标方程

ρ＝R，(参见一般形式的极坐标方程；圆心O(ρ＝0))

C、参数方程

（3）标准形式圆形的定义与特性

与定点等距离的动点轨迹

2）一般形式圆形

（1）一般形式圆形的曲线图

（2）一般形式圆形的方程式

A、直角坐标方程

直角坐标方程（圆心O'(a，b) ，半径 R）

B、极坐标方程

极坐标方程（圆心O'(ρ0，θ0)，半径R）

C、参数方程

参数方程（半径 R）

（3）一般形式圆形的定义与特性

与定点等距离的动点轨迹

2、椭圆

1）椭圆的曲线图

2）椭圆的方程式

A、直角坐标方程

B、极坐标方程

(极点在椭圆中心O点)

C、参数方程

D、准线

3）椭圆的定义与特性

动点P到两定点F1、F2(焦点)的距离之和为一常数时，P点的轨迹

备注：

2a——长轴(A1A2)

2b——短轴(B1B2)

2c——焦距(F1F2)

e——离心率

e愈大，椭圆愈扁平

顶点：A1(-a，0)

A2(a，0)

B1(0，-b)

B2(0，b)

焦点：F1(-c，0)

F2(c，0)

焦点半径：

r1＝PF1，r2＝PF2

r1＝a-ex，r2＝a+ex

3、双曲线

1）双曲线的曲线图

2）双曲线的方程式

（1）直角坐标方程

（2）极坐标方程

(极点在双曲线中心O点)

（3）参数方程

（4）准线

（5）渐近线

3）双曲线的定义与特性

动点P到两定点F1、F2(焦点)的距离之差为一常数时，P点的轨迹

备注：

(1) 2a——实轴（两顶点之间的线段称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为半实轴。）

(2) 2b——虚轴（在标准方程中令x=0，得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1（0，b）和B2（0，-b），以B1B2为虚轴。）

(3) 2c——焦距（双曲线的两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。）

(4) e——离心率

e愈小，渐近线与x轴的夹角愈小

(5) 顶点：

A1(-a，0)，A2(a，0)

B1(0，-b)，B2(0，b)

B1、B2叫虚顶点

(6) 焦点：F1(-c，0)

F2(c，0)

(7) 焦点半径：

r1＝PF1，r2＝PF2

r1＝±(ex-a)，

r2＝±(ex+a)

4、抛物线

1）抛物线的曲线图

2）抛物线的方程式

(1)直角坐标方程

(2)极坐标方程

(极点在抛物线顶点O点)

(3)参数方程

(4)准线

3）抛物线的定义与特性

动点P到一定点F(焦点)和一定直线l ( 准线)的距离相等时，动点P的轨迹(︱PF︱＝︱PQ︱)

4)备注

（1）离心率e＝1

（2）顶点O(0，0)

（3）焦点

p——焦点至准线的距离，p 愈大抛物线开口愈大，p称为焦参数，p＞0开口向右，p＜0开口向左

（4）焦点半径：r＝PF

5、渐开线

1）渐开线的曲线图

2）渐开线的方程式

（1）极坐标方程

R——基圆半径 α——压力角

（2）参数方程

R——基圆半径 α——压力角

3）渐开线的定义与特性

一动直线m(发生线)沿一定圆O(基圆)作无滑滚动时，m上任意点(如起始切点A)的轨迹。用于齿形等

6、阿基米德螺线（等进螺线）

1）阿基米德螺线（等进螺线）的曲线图

2）阿基米德螺线（等进螺线）的方程式

极坐标方程：ρ＝αθ

说明：

θ——极角

ρ——极径

O——极点

极点到曲线上任一点的弧长为

3）阿基米德螺线（等进螺线）的定义与特性

动点沿着等速旋转(角速度ω)的圆的半径，作等速直线运动(线速度υ)此动点轨迹为阿基米德螺线。用于凸轮等

7、对数螺线（等角螺线）

1）对数螺线（等角螺线）的曲线图

2）对数螺线（等角螺线）的方程式

极坐标方程:

(m，a为常数，均大于零)

(m，a为常数，均大于零)

说明：

θ——极角

ρ——极径

α——极径与切线(动点运动方向)间的夹角

曲线上任意两点间的弧长为

3）对数螺线（等角螺线）的定义与特性

动点的运动方向始终与极径保持定角α的动点轨迹。用于涡轮叶片等。用对数螺线作为成型铲齿铣刀铲背的轮廓线时，前角恒定不改变

8、圆柱螺旋线

1）圆柱螺旋线的曲线图

2）圆柱螺旋线的方程式

参数方程

(右旋为“+”，左旋为“-”)

说明：

r——圆柱底半径

β——螺旋角

h——导程

h＝2πrcotβ

L——一个导程的弧长

3）圆柱螺旋线的定义与特性

圆柱面上的动点M绕定轴z以等角速ω回转，同时沿z轴以等速υ平移，其动点轨迹就是圆柱螺旋线。用于弹簧等

9、圆锥螺旋线

1）圆锥螺旋线的曲线图

2）圆锥螺旋线的方程式

参数方程

x＝ρsinαcosθ

y＝ρsinαsinθ

z＝ρcosα

ρ＝aθ

（a——常数；α——半锥角）

3）圆锥螺旋线的定义与特性

特性：

(1)等螺距：h＝2πacosα

(2)切角与锥面母线夹角β

10、圆锥对数螺旋线

1）圆锥对数螺旋线的曲线图

2）圆锥对数螺旋线的方程式

参数方程：

α——半锥角 ； ρ0，β——常数

3）圆锥对数螺旋线的定义与特性

1.不等螺距

2.切线与锥面母线夹角为定角β

11、外摆线

1）外摆线的曲线图

2）外摆线的方程式

参数方程：

说明：

a——基圆半径

b——滚圆半径

θ——公转角

θ1——自转角

l＝O1P，当

l＝b，为普通摆线Г

l＞b，为长幅摆线Г2

l＜b，为短幅摆线Г1

3）外摆线的定义与特性

滚动圆 O1，沿基圆 O外部相切滚动，滚动圆上某点P(或圆外P”，圆内P’)的轨迹

当内外摆线的a → ∞时，摆线转化为平摆线，当b→∞时，摆线转化为圆的渐开线

12、内摆线

1）内摆线的曲线图

2）内摆线的方程式

参数方程：

3）内摆线的定义与特性

滚动圆O1在基圆O内部相切滚动，滚动圆上某点P(或圆外P”，圆内P’)的轨迹

13、平摆线

1）平摆线的曲线图

2）平摆线的方程式

参数方程：

x＝bt-lsint

y＝b-lcost

说明：

曲率半径＝2PM

一拱弧长＝8b

l＝O1P，当

l＝b，为普通平摆线

l＞b，为长幅平摆线

l＜b，为短幅平摆线

3）平摆线的定义与特性

定圆沿定直线滚动，圆周上(或圆外，圆内)一点的轨迹

14、悬链线

1）悬链线的曲线图

2）悬链线的方程式

直角坐标方程：

a——正常数，即距离OA。在顶点附近近似于抛物线：

3）悬链线的定义与特性

两端悬吊的密度均匀的完全柔软曲线，在重力作用下的自然状态所构成的曲线

未完待续。下次更新《常用几何体的面积、体积及重心位置》。敬请期待……