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1 什么是正交投影？

投影就是把空间中的物体投射到某个平面的影像，这样就把3D场景转换为为了2D平面图像。

投影的方式一般分为正交投影、透视投影两种，透视投影可以产生近大远小的效果，就和人类观察世界的方式类似；而正交投影是一种平行投影，类似用一束平行光把物体的影像垂直地投射到地面上。

2 盒式可视空间

在计算机图形学中，为了节省计算资源，会定义一个可视空间，只有可视空间内的物体才需要进行绘制。

正交投影定义的可视空间是一个盒状可视空间，由上下左右裁切面以及近裁切面、远裁切面组成，参见下图，靠近原点的面为近裁切面，更远的为远裁切面。

说明：

1. 左裁切面：x=l，left
2. 右裁切面：x=r，right
3. 上裁切面：y=t，top
4. 下裁切面：y=b，bottom
5. 近裁切面：z=n，near
6. 远裁切面：z=f，far，注意观察方向是相对于z轴负方向来指定的，因此越远坐标反而越小，因此n>f，后面的变换推导中需要注意这个细节。

3 正交投影变换

所谓正交投影变换，就是已知盒状可视空间内任意点坐标(x,y,z)，求解垂直投影到xy平面的对应点坐标。

按照这个定义，xyz坐标系本身就是正交坐标系，盒状可视空间内任意点的坐标(x,y,z)投影到(x,y)平面，只要简单地丢弃z坐标就可以啦，即(x,y,z)变换到(x,y,0)即可，这个理解完全没有问题，但却不是正确的结果，那么原因是什么呢？

主要原因是有两个需要考虑的问题：

1. 规范化坐标系：现实情况几乎所有的图形系统都把坐标系的空间范围限定在(-1,1)范围内，这么做是为了方便移植，使坐标系独立于各种尺寸的图形设备。
2. z坐标需要保留：想象一下可视空间内存在多个物体的场景，前面的物体可能遮挡后面的物体导致无法被看见，绘制图像时需要利用z坐标来判断前后遮挡关系来觉得那个物体需要绘制，因此保留z坐标是最终图形呈现所必须的参数。

基于以上两个因素，正交投影变换一般不会采用简单丢弃z坐标的方式来实现，而采用下面这种方式

第一步进行平移变换，将盒状可视空间的中心点，移动做坐标原点，针对正交投影来说无论坐标原点在哪里，可视空间最终投影到xy平面的图像是不会有任何影响的。这一步变换的矩阵为：

第二步进行缩放变换，也就是把盒状可视空间所表示的一般长方体，通过缩放使其成为范围都是(-1,1)的立方体。这一步变换的矩阵为：

两个矩阵相乘就得到最终正交投影变换矩阵