高中数学2.幂函数与指数函数的前世

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　　本文放下幂函数和指数函数不谈，先来聊一聊乘方，幂，n次方根和开方。

　　求n个相同因数a乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)。

　　当aⁿ看作a的n次乘方的结果时，也可读作“a的n次幂”或“a的n次方”。

　　其中，a叫做底数(base number)，n叫做指数(exponent)。

　　一般情况下，我们认为：a∈R，n∈R。

　　n次方的定义是：

　　(略)

　　n取正整数。

　　即x＝a^n，n∈N*。(a的取值范围呢？)

　　特别的，一个数的2次方叫做这个数的平方，3次方叫做这个数的立方。

　　n次方根的定义是：

(略)

　　n取大于1的正整数。

　　即x=

，n∈N*且n＞1，其中，n叫做根指数，a叫做被开方数。(此时a的取值范围呢？)

　　特别的，一个数的2次方根叫做这个数的平方根，3次方根叫做这个数的立方根。

　　求一个数的n次方根的运算称为开方(rooting)。

　　乘方与开方互为逆运算。

　　如，平方和开平方互为逆运算，立方和开立方互为逆运算。

　　抛开底数的取值范围不谈的话(为什么？)，按照指数的取值范围，可以将幂(乘方运算的结果)分为：

　　整数指数幂，如a^(-1)，a¹，a²，a³，aº(a≠0)

　　分数指数幂，如a^(1/2)，a^(1/3)

　　无理数指数幂

　　整数指数幂在以前的课程中已经学习过了(可以自行回顾)，如何把指数的取值范围拓展到分数呢？

　　(要注意：到目前为止我们并没有学习过任何分数指数幂，如a^(1/2)，a^(1/3)等，只学习过根式，至于在学习幂函数时，为什么把我正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝√S记作c＝S^(1/2)(学完后，你明白了吗？)，下面马上将会学习)

　　这就是p105-106的内容。

　　若用m^k〔 k∈N*，m＞0(注：这里只讨论m＞0的情况) 〕代替a，即

　　根号形式a^(1/n)＝根号形式(m^k)^(1/n)

　　若有法则①m^k＝〔m^(k/n)〕^n，

　　再有法则②根号形式〔〔m^(k/n)〕^n〕^(1/n)＝m^(k/n)，

　　那么一定有等式③根号形式(m^k)^(1/n)＝m^(k/n)成立。

　　m＞0，k∈N*，n∈N*且n＞1

　　于是，便有了课本上的规定。

　　法则①：幂的乘方法则的拓展

　　等式③：正数的正分数指数幂的意义规定如下：(略)

　　至此，指数的取值范围就从整数拓展到了有理数。

　　(注意底数的取值范围。)

　　于是 x^(3/2)＝根号形式 就可以理解为(x的3次方)的2次方根。即(x的立方)的平方根。

　　思考：

　　为什么x^(3/2)中x不能取负数？

　　至于无理数指数幂，从4.1.2无理数指数幂极其运算性质中，无理数指数幂是一个确定的实数(如何证明我不知道)，我们就将指数的范围拓展到了实数。

　　(注意底数的取值范围。)

　　特别注意的是：

　　0的非正数(包括负数和0)指数幂没有意义，0的正数指数幂等于0

　　aº(a≠0)＝a¹/a¹＝1

　　注：本文主要讲述如何把幂的指数的取值范围从平方，立方为代表的整数拓展到全体实数。

　　动手画一画：

　　将你学习实数指数幂的过程用流程图画出来，并想一想我们有哪些问题还没有解决(如负数的分数指数幂等)，以及指数可以是虚数吗？底数呢？