范畴学将会兴起（第6集）:Hom函子

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什么是Hom函子？

Hom函子是一个从范畴C的积范畴到集合范畴Set的协变函子。 对于任意的对象X和Y在C上，Hom函子将它们映射到从X到Y的所有C上的箭头集合。 如果f:X→Y是C的一个箭头，那么Hom函子将f映射到它所对应的从X到Y的箭头。 通常用hom_C(X,Y)或者简单的hom(X,Y)来表示从X到Y的所有箭头的集合。

Hom函子在许多数学领域都有广泛的应用，例如拓扑学、代数学、范畴论，以及其他一些更高级的数学分支。

Hom函子相关的基本概念，至少10条

1. Hom函子是一个协变函子，它将一个范畴C中的两个对象映射到一个集合范畴Set中的集合。
2. 对于任意的对象X在范畴C中，Hom函子将X映射到从X到自身的所有箭头的集合。这个集合通常表示为Hom(X, X)。
3. Hom函子对于范畴C中的任意两个对象X和Y，将它们映射到从X到Y的所有箭头的集合。这个集合表示为Hom(X, Y)。
4. 如果C是一个小范畴（即其中的对象和箭头是集合），那么Hom函子将范畴C的积范畴映射到集合范畴Set中。
5. Hom函子保留对象之间的箭头关系，即如果范畴C中存在从X到Y的箭头f，则Hom函子将f映射到Hom(X, Y)中的一个箭头。
6. Hom函子是范畴论中一个非常重要的概念，它提供了一种研究范畴中对象之间箭头的方式。
7. Hom函子可以用来定义范畴C的对偶范畴C^op。在对偶范畴中，Hom函子将原来范畴C中的对象和箭头进行翻转。
8. 对于有限集合范畴FinSet，Hom函子将两个集合映射到它们之间的所有函数的集合。
9. 在拓扑学中，Hom函子将两个拓扑空间映射到它们之间的所有连续映射的集合。
10. Hom函子的概念也可以推广到其他代数结构，如群、环、模等，其中Hom函子将两个代数结构映射到它们之间的所有同态的集合。

与Hom函子相关的基本思想，至少10条

1. Hom函子的基本思想是将范畴中的箭头抽象出来，将箭头作为对象来考虑。
2. Hom函子允许我们将范畴中对象之间的关系抽象为箭头之间的关系。
3. Hom函子提供了一种研究范畴中对象之间箭头的方式，它将范畴中的箭头与集合中的元素关联起来。
4. Hom函子解释了“箭头之间的关系”这个抽象概念，它提供了一种数学语言来描述范畴中箭头之间的复杂结构。
5. Hom函子在理论计算机科学、代数学、表示论和几何学等方面都有重要的应用。
6. 使用Hom函子，我们可以将范畴的表示集中于特定类型的对象，比如群、环或向量空间。
7. Hom函子可以用来定义自然变换，它描述了两个函子之间的映射，可以用来表示范畴之间的关系。
8. Hom函子的构造可以用于证明范畴满足某些性质，例如可积性、完备性、正则性等。
9. Hom函子可以帮助我们寻找范畴中的同构，即对象之间的一一对应关系。
10. Hom函子可以用来理解一些经典数学问题，例如同调、剩余定理和模形式等。

与Hom函子相关的基本定理，至少5条

1. Yoneda引理：Yoneda引理是与Hom函子密切相关的基本定理，它说明了Hom函子的重要性。该引理表明，范畴C中的对象X的所有自然变换都可以通过Hom函子与对象X之间的箭头集合一一对应。
2. Hom-提拔定理（Hom-elevation theorem）：该定理说明了范畴的积范畴中的积对象可以通过Hom函子揭示出来。具体来说，对于范畴C中的对象A、B和C，存在范畴C中的同构映射，使得Hom函子将(A × B, C)的箭头集合与Hom函子的一个箭头集合一一对应。
3. 富余积定理（Barr-Beck定理）：富余积定理描述了在具有富余极限的范畴中，Hom函子对富余积的性质的保持。具体来说，它说明了Hom函子在这样的范畴中尊重富余积的一些重要性质，比如积的唯一性和泛性质。
4. Hom函子的随机对象（Big Hom functor）：该定理说明了对于范畴C的每个对象X，存在一个随机对象Hom(C, X)的范畴，使得Hom函子成为从范畴C到随机对象范畴的函子。
5. 导出函子和积函子之间的同构（Density and Kan Extension）：该定理说明了在适当的条件下，Hom函子与导出函子和积函子之间存在一个同构关系。这个同构关系使得我们可以通过Hom函子来描述范畴中的导出函子和积函子的性质。