时间序列预测模型ARIMA应用全流程

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ARIMA模型介绍

ARIMA模型（英语：Autoregressive Integrated Moving Average model），差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动），是时间序列预测分析方法之一。ARIMA(p，d，q)中，AR是“自回归”，p为自回归项数；MA为“滑动平均”，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）。“差分”一词虽未出现在ARIMA的英文名称中，却是关键步骤。

它对平稳时间序列的预测只不过是一个线性（如线性回归）方程。预测因子取决于ARIMA模型的参数（p、d、q）：

AR（自回归）项的个数（p）：AR项只是相依变量的滞后项。或者，如果p为5，x（t）的预测因子将是x（t-1）。x（t-5）

移动平均项数（g）：MA项是预测方程中的滞后预测误差。例如，如果q为5，x（t）的预测值将为e（t-1）。e（t-5），其中e（i）是瞬时移动平均值与实际值之间的差值。

差异数（d）：这是非季节性差异的数量，也就是说，在这种情况下，我们取一阶差分，这样我们就可以传递该变量，并将d=0传递给原始变量，将d=1放入。两者都会产生相同的结果

ACF(Autocorrelation Function),自协方差或自相关函数。时间序列Xt的自协方差是信号与其经过时间平移的信号之间的协方差。例如将t1,t2与t1-5和t2-5 相比。将有序的随机变量序列与其自身相比较，它反映了同一序列在不同时序的取值之间的相关性。

偏自相关函数（PACF）计算的是严格的两个变量之间的相关性，是剔除了中间变量的干扰之后所得到的两个变量之间的相关程度。对于一个平稳的AR§模型，求出滞后为k的自相关系数p(k)时，实际所得并不是x(t)与x(t-k)之间的相关关系。这是因为在这两个变量之间还存在k-1个变量，它们会对这个自相关系数产生一系列的影响，而这个k-1个变量本身又是与x(t-k)相关的。这对自相关系数p(k)的计算是一个不小的干扰。而偏自相关函数可以剔除这些干扰。

导入模型

import sys import os import warnings warnings.filterwarnings("ignore") import pandas as pd import numpy as np from arch.unitroot import ADF import matplotlib.pylab as plt %matplotlib inline from matplotlib.pylab import style style.use('ggplot') import statsmodels.api as sm import statsmodels.formula.api as smf import statsmodels.tsa.api as smt from statsmodels.tsa.stattools import adfuller from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox from statsmodels.graphics.api import plot pd.set_option('display.float_format', lambda x: '%.5f' % x) np.set_printoptions(precision=5, suppress=True) """中文显示问题""" plt.rcParams['font.family'] = ['sans-serif'] plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

平稳性检验

AR、MA和ARMA模型都必须是 “平稳非白噪声序列”，所以需要 “平稳性检验“ 和 “白噪声检验”

方法一:观察序列图:若个体值要围绕序列均值上下波动，没有明显的上升或下降趋势，则是平稳序列。

如果出现上升或下降趋势，需要对原始序列进行差分平稳化处理在 下面不平稳序列转平稳序列部分，会讲如何差分平稳化

方法二:观察自相关图:平稳的序列的自相关图（ACF）和 偏相关图（PACF）不是拖尾就是截尾。

拖尾:始终有非零取值，不会在k大于某个常数后就恒等于零(或在0附近随机波动)，顾名思义，就是序列缓慢衰减，“尾巴”慢慢拖着滑下来。

截尾:在大于某个常数k后快速趋于0为k阶截尾，突然截断了，像个悬崖

这张图可以看出，左图（自相关函数图）呈现出拖尾特征（2阶拖尾），而右图（偏自相关函数图）呈现出截尾特征（2阶截尾）

这张图可以看出，左图（自相关函数图）呈现出截尾特征（1阶截尾），而右图（偏自相关函数图）呈现出拖尾特征（1阶拖尾）

这张图可以看出，左图（自相关函数图）呈现出拖尾特征（2阶拖尾），右图（偏自相关函数图）也呈现出拖尾特征（1阶拖尾）

方法三：单位根检验：当一个时间序列的滞后算子多项式方程存在单位根时，我们认为该时间序列是非平稳的；反之，当该方程不存在单位根时，我们认为该时间序列是平稳的。

常见的单位根检验方法有DF检、ADF检验和PP检验，今天我们会用ADF检验来为大家演示

在Python中，有两个常用的包提供了ADF检验，分别是statsmodel和arch。

第一种方法：使用statsmodel的方法为：

from statsmodels.stats.diagnostic import unitroot_adf unitroot_adf(df.pct_chg)

输出为： 这里包含了检验值、p-value、滞后阶数、自由度等信息。 我们看到了检验统计量为-14.46，远小于1%的临界值-3.47，即p值远小于0.01，因此我们拒绝原假设，认为该时间序列是平稳的。（这里原假设是存在单位根，即时间序列为非平稳的。)

第二种方法：使用arch的方法为：

from arch.unitroot import ADF ADF(df.pct_chg)

其输出信息与statsmodel基本是一致的。

方法四：以上几个方法融合，即几种方法都做：结果更具有说服力

1.绘制时序图，观察是否存在波动和向上或向下的趋势

2.做相关系数图，若随时间间隔 k 增大，自相关系数迅速衰减则序列平稳；若随时间间隔 k 增大，自相关系数衰减缓慢则序列不平稳

3.进行单位根检验，P-值<α时，拒绝存在单位根的原假设，序列平稳。

不平稳序列转为平稳序列

取对数可以消除数据波动变大趋势对数列进行差分，可以消除数据增长趋势性和季节性。

对于非平稳序列，如果先进行差分后的结果不满足要求，则需要在原有基础上继续进行差分，直到差分后的结果属于平稳性序列

方法：

1.差分Differencing – t在一个特定的时间差取差分

2.分解Decomposition 对趋势和季节性进行建模，并将其从模型中移除

差分Differencing

取某一时刻的观测值与前一时刻的观测值之差。

#Differencing ts_log_diff=ts_log-ts_log.shift() # reduced trend considerably ts_log_diff.dropna(inplace=True) test_stationarity(ts_log_diff)

由图可见，均值和标准差的变化都很小，并且在测试中小于10%的临界值，因此这个序列是平稳的，置信度为90%。我们也可以采用二阶或三阶差分，在某些应用中可能会得到更好的结果。

分解 Decomposing

both trend and seasonality are modeled separately and the remaining part of the series is returned.

将趋势和季节性分别建模，并返回序列的其余部分。

from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose decomposition = seasonal_decompose(ts_log) trend = decomposition.trend seasonal = decomposition.seasonal #作图 residual = decomposition.resid plt.subplot(411) plt.plot(ts_log,label='Original') plt.legend(loc='best') plt.subplot(412) plt.plot(trend,label='Trend') plt.legend(loc='best') plt.subplot(413) plt.plot(seasonal,label='Seasonality') plt.legend(loc='best') plt.subplot(414) plt.plot(residual,label='Residuals') plt.legend(loc='best') plt.tight_layout()

ts_log_decompose = residual ts_log_decompose.dropna(inplace=True) test_stationarity(ts_log_decompose)

从测试结果看到，P值远远小于1%的临界值，所以该序列非常符合平稳时间序列。

白噪声检验

from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox acorr_ljungbox(data.diff1.dropna(), lags = [i for i in range(1,12)],boxpierce=True)

(array([11.30402, 13.03896, 13.37637, 14.24184, 14.6937 , 15.33042, 16.36099, 16.76433, 18.15565, 18.16275, 18.21663]), array([0.00077, 0.00147, 0.00389, 0.00656, 0.01175, 0.01784, 0.02202, 0.03266, 0.03341, 0.05228, 0.07669]), array([10.4116 , 11.96391, 12.25693, 12.98574, 13.35437, 13.85704, 14.64353, 14.94072, 15.92929, 15.93415, 15.9696 ]), array([0.00125, 0.00252, 0.00655, 0.01135, 0.02027, 0.03127, 0.04085, 0.06031, 0.06837, 0.10153, 0.14226]))

通过P<αP<α（α通常为0.05）,拒绝原假设，故差分后的序列是平稳的非白噪声序列，可以进行下一步建模。

下一篇 我们继续看ARIMA模型的定阶和参数估计部分。