高三二轮复习:回归教材+易错提醒(数学6)

高三二轮复习:回归教材+易错提醒(数学6)概率与统计教材回归 1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第 1 类方案中有 m 种不同的方法 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 那么完成这件事共有 N m n 种不同的方法 2 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第 1 步有 m 种不同的方法

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概率与统计

教材回归

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有Nm×n种不同的方法.

3.排列

(1)排列的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A表示.

(3)排列数公式:A=n(n-1)(n-2)…·(nm+1)

(4)全排列:把n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,A=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1n.排列数公式写成阶乘的形式为A=,这里规定0!=1.

4.组合

(1)组合的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C表示.

(3)组合数的计算公式:

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(4)组合数的性质:

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5.二项式定理

(ab)nCan+Can-1b1+…+Cankbk+…+Cbn(nN*).

这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式,其中各项的系数C(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.式中的

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叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即展开式的第k+1项:

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6.二项式系数的性质

(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即

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(2)增减性与最大值:二项式系数先增后减,中间一项或两项的二项式系数最大.二项式系数为

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,当

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时,C随k的增加而增大;由对称性知,当

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时,C随k的增加而减小.

n是偶数时,中间的一项

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取得最大值;

n是奇数时,中间的两项

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相等,且同时取得最大值.

(3)各二项式系数的和

(ab)n的展开式的各二项式系数的和等于

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二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即

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7.概率的计算公式

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8.统计中四个数据特征

(1)众数:

①在样本数据中,出现次数最多的那个数据.

②频率分布直方图中,众数是最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数:在样本数据中,将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,位于中间的那个数据.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数.

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9.离散型随机变量

(1)离散型随机变量的分布列的两个性质

pi≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+pn1.

(2)均值公式

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(3)均值的性质

E(aXb)=aE(X)+b

②若XB(np),则E(X)=np

③若X服从两点分布,则E(X)=p.

(4)方差公式

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(5)方差的性质

D(aXb)=a2D(X)

②若XB(np),则D(X)=np(1-p)

③若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p)

(6)独立事件同时发生的概率计算公式

P(AB)=P(A)P(B)

(7)n重伯努利试验的概率计算公式

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10.一元线性回归模型

(1)经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)

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(2)样本相关系数r具有如下性质:

①|r|≤1

②|r|越接近于1,成对样本数据的线性相关程度越

③|r|越接近于0,成对样本数据的线性相关程度越弱.

11.独立性检验

利用随机变量

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的取值推断分类变量XY是否独立的方法称为χ2独立性检验.

12.正态分布

如果随机变量X服从正态分布,则记为XN(μσ2).

满足正态分布的三个基本概率的值是

(1)P(μσXμσ)≈0.682 7

(2)P(μ-2σXμ+2σ)≈0.954 5

(3)P(μ-3σXμ+3σ)≈0.997 3.

易错提醒

1.关于两个计数原理应用的注意事项

分类加法计数原理和分步乘法计数原理,都是关于做一件事的不同方法的种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

2.排列、组合问题的求解方法与技巧

(1)特殊元素或特殊位置优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题排除法处理.(7)正难则反,等价条件.

3.二项式定理应用时的注意事项

(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细.

项的系数与ab有关,可正可负,二项式系数只与n有关,恒为正.

(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1.

4.应用互斥事件的概率加法公式时,一定要先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.

5.正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

6.易混淆频率分布条形图和频率分布直方图,误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率,导致样本数据的频率求错.

7.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别

(1)在P(A|B)中,事件AB发生有时间上的差异,BA后;在P(AB)中,事件AB同时发生.

(2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).

8.(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布,盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误.

(2)涉及求分布列时,要注意区分是二项分布还是超几何分布.

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