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概率与统计
教材回归
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
3.排列
(1)排列的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A表示.
(3)排列数公式:A=n(n-1)(n-2)…·(n-m+1).
(4)全排列:把n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,A=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1=n!.排列数公式写成阶乘的形式为A=,这里规定0!=1.
4.组合
(1)组合的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C表示.
(3)组合数的计算公式:
(4)组合数的性质:
5.二项式定理
(a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*).
这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中各项的系数C(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.式中的
叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即展开式的第k+1项:
6.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即
(2)增减性与最大值:二项式系数先增后减,中间一项或两项的二项式系数最大.二项式系数为
,当
时,C随k的增加而增大;由对称性知,当
时,C随k的增加而减小.
当n是偶数时,中间的一项
取得最大值;
当n是奇数时,中间的两项
相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和
(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于
二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即
7.概率的计算公式
8.统计中四个数据特征
(1)众数:
①在样本数据中,出现次数最多的那个数据.
②频率分布直方图中,众数是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数:在样本数据中,将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,位于中间的那个数据.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数.
9.离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+pn=1.
(2)均值公式
(3)均值的性质
①E(aX+b)=aE(X)+b;
②若X~B(n,p),则E(X)=np;
③若X服从两点分布,则E(X)=p.
(4)方差公式
(5)方差的性质
①D(aX+b)=a2D(X);
②若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p);
③若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)=P(A)P(B).
(7)n重伯努利试验的概率计算公式
10.一元线性回归模型
(1)经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)
(2)样本相关系数r具有如下性质:
①|r|≤1;
②|r|越接近于1,成对样本数据的线性相关程度越强;
③|r|越接近于0,成对样本数据的线性相关程度越弱.
11.独立性检验
利用随机变量
的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验.
12.正态分布
如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).
满足正态分布的三个基本概率的值是
(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
易错提醒
1.关于两个计数原理应用的注意事项
分类加法计数原理和分步乘法计数原理,都是关于做一件事的不同方法的种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素或特殊位置优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题排除法处理.(7)正难则反,等价条件.
3.二项式定理应用时的注意事项
(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细.
项的系数与a,b有关,可正可负,二项式系数只与n有关,恒为正.
(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1.
4.应用互斥事件的概率加法公式时,一定要先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.
5.正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
6.易混淆频率分布条形图和频率分布直方图,误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率,导致样本数据的频率求错.
7.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中,事件A,B发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生.
(2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).
8.(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布,盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误.
(2)涉及求分布列时,要注意区分是二项分布还是超几何分布.
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