实变函数的魅力

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所有国内书名“实变函数”的书，名字都是错误的。这个名字更多的是历史原因，苏联人喜欢这么叫，大家习惯了就一直传下来了。之所以说是错误的，因为从名字看，这类书是讲函数的。但实际上不然，这类书有很多内容讲测度论基础，其次才是可测函数，甚至有很多书讲抽象的测度。测度和函数是什么关系呢？从某一个方面讲，测度是函数的推广。每一个函数都可以定义一个测度。测度可以称为集合函数，但不是传统意义上的实变量函数。目前国际上流行把这部分内容叫做实分析。从延拓方面讲，由函数推广到测度，再推广到广义函数（国际上更习惯叫做分布）可以从 L. Schwarz的名著《广义函数论》中看到。

目前国际国内风靡的实变函数教材一般是Stein的<Real Analysis >。这书写的太流畅了，像小说一样不知不觉就读完了。

说句实话，Stein 的四套书更适合一起用做四个学期的教材，单独拿出一本来讲实变函数就差点意思。一不系统，二不全面，三抽象测度一章写得极差，直接拉低了书的整体水平。

个人觉得拿实变函数来说，最好的教材还是Terence Tao的《An Introduction to Measure Theory》。这是一本被书名耽误了的实变函数教材。看到书名，很多人就直接拿来和专门的测度论教材作对比，说这本书不够深入，确实是闹笑话。书名虽然叫测度论，但是作者确实在序言里说了这是一本实分析教材，不是测度论教材，而且这本书实际上是Stein的书的重新组织和扩充，比stein的书可读性更强，动机和想法也更直接。