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今天我们来讨论一个有趣的问题:
无穷个虚数i的i次方等于多少?
i^i^I^…=?
首先强调,对于多重指数幂的运算,如果没有打括号,则代表从上往下算,而不是从下往上算!
a^b^c=a^(b^c)
(a^b)^c=a^(bc)
假设i^i^I^…=x
i^i^I^…=i^(i^I^i…)=i^x=x
再次强调,有朋友认为以上括号内的i的个数不是比原式少一个吗?
实际上,对于无穷个是不能用有限个的思维来理解的。
∞个i和∞-1个i本质上没有任何区别,都是∞个i。
问题转化为解方程:
i^x=x
i^x=x
等式两边同时取自然对数
ln(i^x)=ln(x)
xln(i)=ln(x)
前面我多次讲到过,利用欧拉公式
可以将i改写为e^(iπ/2)
欧拉公式:e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)
令θ=π/2
e^(iπ/2)=cos(π/2)+isin(π/2)
=0+i×1=i
i=e^(iπ/2)
ln(i)=ln[e^(iπ/2)]=(iπ/2)ln(e)=πi/2
ln(i)=πi/2
前面我们已经得出:
xln(i)=ln(x)
(1/x)ln(x)=ln(i)=πi/2
[x^(-1)]ln(x)=πi/2
根据对数恒等式:a=e^[ln(a)]
x^(-1)=e^{ln[x^(-1)]}=e^[-ln(x)]
[x^(-1)]ln(x)
={e^[-ln(x)]}ln(x)=πi/2
{e^[-ln(x)]}[-ln(x)]=-πi/2
我们为什么要将方程变成如此复杂的形式呢?
因为要想解出这个方程,必须利用到一个非常重要的函数——郞伯W函数。
我们将函数y=xe^x的反函数称为郞伯W函数,记作y=W(x)。
显然有,W(y)=x。
这个郞伯W函数的具体解析式是什么呢?
答案有些令人意外,是无法表达!
我们并不能求出郞伯W函数的具体解析式,但我们可以根据原函数与反函数关于y=x对称的性质画出郞伯W函数的图像。
{e^[-ln(x)]}[-ln(x)]=-πi/2
等式两边同时取郞伯W函数
W<{e^[-ln(x)]}[-ln(x)]>=W(-πi/2)
-ln(x)=W(-πi/2)
-ln(x)=W(-πi/2)
ln(x)=-W(-πi/2)
x=e^[-W(-πi/2)]
最终我们解出了x
尽管我们并不知道郞伯W函数的具体解析式,但我们可以利用计算机,将-πi/2代入郞伯W函数计算出W(-πi/2)的取值,进而计算出x的取值。
i^i^I^…=x=e^[-W(-πi/2)]
最终我们求出了
i^i^I^…的值为e^[-W(-πi/2)]
郞伯W函数是一个求解方程很重要的函数,很多比较特殊的方程都可以利用郞伯W函数进行求解。
例如解方程:x^x=3
又比如解方程:x^y=y^x
大家不妨挑战一下以上两个方程。
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