从虚数i说起

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虚数i之所以还叫虚数，是因为它不太好理解。

人对数的认识是有个发展过程的。

最开始，也许是人们数指头，有了自然数的概念。

通过记账，人们接受了负数。

通过丈量，人们接受了分数（有理数）。

通过逻辑，人们认识了实数（有理数+无理数）。

为了方便，人们引入了虚数i，从而认识了复数。

先来讲一讲虚数i提供了怎样的方便。

我们知道，在实数范围内，多项式方程有时候有解，有时候则无解。比如x平方等于1，x有1和-1两个解；而若令x平方等于-1，则x没有实数解。

也许爱好解方程的人不甘于碰到负数就不能开根号，突然脑洞大开，为了任何情况都能开根号，就发明了个记号i，让i的平方等于-1，这样，x平方若等于-1，则同样有两个解，i和-i。

后来发现，虽然在实数上只添了一个i（数域扩充到了复数），方程的理论却变得简洁漂亮了。其中一个著名的结论就是，对于次数为n的多项式方程，存在n个复数解。

就像一个外国人来到中国，时间长了，你除了觉得他（她）有那么一点不一样之外，其余都是很OK的。

所以，出于种种好处与便利，人们接受了这个i，并认识了复数。就像我们给外国人办发了中国国籍 一样，i从此就成了数的大家族的一员。

可是，对i的认识，我们一般人，包括大学生，还是比较少的。

这里说一说欧拉公式。

这是个啥呢？

右边都知道，是个负数，-1。

左边就比较奇怪了，是个底数为字母的，指数却又是个复数的东西。

e比较好理解，实际上和一样，就是个常数（它是超越数，也是实数，但不是实系数代数方程的解），它的值大约等于2.72。

e的故事也能说一大堆，和那个神奇的圆周率一样。

不说这个e了，复数作为指数又怎么理解呢？这个是难点。

别说这个复数作指数难理解了，就是任意一个实数作指数也需要一个认识过程。

首先，如果指数是个正整数，比如，意思就是三个5相乘，很好理解。

如果指数是零，我们规定这个幂次等于1。即。

如果指数是个负整数，比如，等于什么呢？它等于三个5相乘的倒数。这个实际上可以推出来，因为根据幂函数的性质，我们有

下面来看分数的情况，我们规定, 如果这个分数是负数，则和整数情况一样，先求正的部分的值，然后取倒数。这个定义是很合理的，因为这样的话，指数函数(x 是自变量）就是连续的。

可还有些美中不足，因为x的取值目前只是定义了有理数部分。无理数作为指数怎么办呢？

这就要有那么点对极限的理解了，大一学微积分一开始就涉及这个。

我们可以找一个无限接近这个无理数的有理数来定义无理数指数的值。（这句话读起来有点晕阿。。）

就是说，虽然我们知道无理数和有理数不可能相等，但因为想多接近就能多接近，我们想象一个极限，用这个极限来定义无理数指数的值。（其实无理数我们也是靠想象的，比如，你用小数表示它，那是无限不循环小数，所以最终用的时候往往是个近似的值。）

读到这里，我们已经跨越了一大步：完全理解了一个指数函数的值是怎么求得的。

指数若是虚数呢？

这个就不太好理解了，我们要寻找一个桥梁。

说起来有些话长，对于没学过微积分的朋友可能有点难。

其实微积分也没有离开中学数学太远，只是建立在函数基础上发展了一套工具而已。

微分，或者说求导数，意思就是求一个函数的瞬时变化率，或者说是函数曲线上某点的切线斜率。

当然不是那么好求的，不然也不用学微积分啦。简单的讲，先用求极限的种种方法和性质，就可以比较快速的把导（函）数找出来。

那么指数函数比较复杂，以致于当指数x是虚数的时候，就不好理解了，没法儿算了。聪明的同学可能想到了，既然指数函数不好算，可不可以把它写成一个比较好算的等价形式呢？

可以的。

先把写成一个多项式形式。当然，指数函数不可能等于一个多项式，所以这个多项式我们得先写成无限项，让系数待定，即

为了方便说明，我们令a=e，就是前面说的那个大约等于2.72的数。

现在，让x=0，通过这个等式，我们得出。

接着，对等式两边求导，等式左边不会变（这就是为啥要选e，如果不是e，会多出一个系数。）

等式右边，对每一项先求导再相加（即使有无限项），等式就变成了

现在再让x=0，得出。

按照这种方法，可以推出。

所以

大概有的同学明白过来了，你不就是在说指数函数的泰勒展开嘛！（虽然我感觉好多同学学完微积分，却不知道泰勒展开怎么推出来的。）

这个指数函数的泰勒展开呢，你别看右边一大堆，但其实是个多项式（有无限多项），而多项式的计算，即使是虚数，也可以算。

这样我们就搭好了计算虚指数函数的那座桥梁。

只要让即可。

可是，右边虽然可以算，但有无限项，要得出值是多少并不很简单，但我们可以先看看展开的实数部分和虚数部分系数的前m项和，看看有没有什么趋向？趋向于什么值？

实数部分的值是

虚数部分系数的值是

计算前5，前10，前100项的和，计算结果列于下表，大家看看有什么规律 ？(计算机算的，可能会引入小的误差，但一般只在末尾有误差。）

从表中的数据可以看出，实数和虚数部分系数计算的项越多，越接近于某个值。实数趋向于-1，虚数趋向于0。

我们似乎看到了欧拉公式的成立。

先说这么多吧！

说到这儿，不管你懂没懂，还是似懂非懂，应该给我点个赞了：）