用级数定义一些函数

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2.1 用级数定义一些函数

学习复变函数之前让我们大喊三声：变变变！

什么是复数应该不用我说了。但是你能说清楚2的i次方是什么意思吗？如果说i个2相乘就很难理解。现在重新定义一下以前学过的函数，让它们在复数范围内也能用，这些工作叫作解析延拓。

前面用级数定义了。不管x是实数还是复数，这样的定义都能用。

借助欧拉公式，exp ix=cos x+i sin x就能定义sin x和cos x。exp ix打开得到，然后把实部和虚部分开，得到：

可以看出sin x是奇函数，cos x是偶函数。为了产生波浪的形状，它们的各项系数是一正一 负的。直接求导会发现。有兴趣的同学经过一通暴算还会发现。

但是用级数定义三角函数也有不方便的地方，比如一眼看不出来sin π=0（这件事情的证明要等到傅立叶级数），所以有时候我们也会用到几何定义。如果x是复数，sin x和cos x的几何意义比较难理解，现在我们只要知道它们是级数就行了。

然后可以定义ln x：如果 exp x=y，那么 ln y=x。但是奇怪的事情出现了：我们已经知道exp 2πi=1，那么 ln exp 2πi=ln 1，难道2πi=0？

事实上，不同的x可以有相同的exp x，所以 exp x 的反函数不是单值的，跟反三角函数会出现的问题一样。多值函数的事情以后再讲，现在可以定义：如果Im x∈[0, 2π) 且exp x=y，那么ln y=x。（Im x表示x的虚部）

现在任何非零复数的对数都有定义，然后可以定义一般的幂运算：（要求a+bi≠0）。这样一来，任何非零复数的复数次方都有了定义，然而零仍然是一个麻烦的问题。

还要注意一下，前面讲的求导和积分都是在一维的情况下的，现在自变量可以在二维的复平面上移动，求导和积分的几何意义都有一些变化，但是之前的公式仍然可以套上去。