导数在高中物理中的应用

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一、利用导数求瞬时值

某物理量A定义为A=△y/△x，

比如：速度v=△x/△t，加速度a=△v/△t，角速度ω=△θ/△t，电场强度E=-△Φ/△x，感应电动势E=N△Φ/△t等等，凡是结构是A=△y/△x这种类型的，我们都可以采用类比的方法.

物理量A=△y/△x，若△x不趋近零时，是一个过程的平均值，反映在图像上就是割线斜率；

物理量A=△y/△x，若△x→0，A的值为某时刻或某点的瞬时值，也就是△x→0的极限，

反映在图像上就是切线的斜率.

①导数在运动学上的运用

示例1：某质点运动过程中位移x(单位m)和时间t(单位s)满足表达式，x=5t³+3t²+4t+2(m)，求：

①1s—3s内的平均速度

②2s时的瞬时速度

③2s时的加速度

【解析】

①1s—3s内的平均速度是割线斜率，

t=1s时，x=14m；

t=3s时，x=176m；

△x=162m；

1s—3s内的平均速度为81m/s.

②2s时的瞬时速度是切线斜率，瞬时速度的表达式就是位移对时间的导数，求得：

v=15t²+6t+4(m/s)

当t=2s时，v=76m/s.

③瞬时加速度的表达式就是速度对时间的导数，就是v-t图的斜率，也就是x-t函数对时间t的二阶导数.

求导得：a=30t+6(m/s²)

t=2s时，a=66m/s².

②导数在感应电动势上的运用

示例2：如图所示，两根平行足够长的金属导轨固定在水平桌面上，导轨的端点P和Q用导线相连，两导轨间的距离为L，磁场垂直于桌面向上，已知磁感强度B与时间的关系为B＝kt（k为大于零的常量）.在t＝0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆从t＝0时刻开始以恒定的加速度a从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t时刻整个回路的感应电动势大小.

这是感生和动生共存的情况，可以用法拉第电磁感应普适公式，E=n△Φ/△t，瞬时电动势，就是求Φ(t)函数的导数.

Φ=BS=BLvt=ktL·½at²

E=kL·½at²+ktL·at=3kLat²/2.

例题：如图所示，KLMN是一个竖直的矩形导线框，全部处于磁感应强度为B的水平方向的匀强磁场中，线框面积为S，MN边水平，线框绕某竖直固定轴以角速度ω匀速转动。在MN边与磁场方向的夹角到达30°的时刻（图示位置），导线框中产生的瞬间电动势e的大小是多少？标出线框此时电流的方向。已知线框按俯视的逆时针方向转动。

【解析】从平行面开始计时的磁通量表达式为Φ=BSsinθ，t=0的初相位为π/6.

磁通量表达式应该修改为Φ=BSsin(θ+π/6)，而θ=ωt，

Φ=BSsin(ωt+π/6)

E=n△Φ/△t，求瞬时表达式，即求导数，

E=nBSωcos(ωt+π/6)[t=0,n=1]

E=√3BSω/2

电流方向根据楞次定律判断.

例题：纸面内两个半径均为R的圆相切于O点，两圆形区域内分别存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等、方向相反，且不随时间变化。一长为2R的导体杆OA绕过O点且垂直于纸面的轴顺时针匀速旋转，角速度为ω。t＝0时，OA恰好位于两圆的公切线上，如图所示。若选取从O指向A的电动势为正，下列描述导体杆中感应电动势随时间变化的图像可能正确的是（C）

【解析】

Φ=BS=B·θR²-½BR²sin2θ

=BR²(ωt-½sin2ωt)

Φ′(t)=BR²(ω-ωcos2ωt)

=2BR²ωsin²ωt.

E=nΦ′(t)=2BR²ωsin²ωt.

也可以用切割磁感线方法

③导数在电势分布于某直线上的应用

示例3：某静电场中的一条电场线与x轴重合，其电势的变化规律如图所示，在O点由静止释放一电子，电子仅受电场力的作用，则在-x₀～x₀区间内（BC）

A.该静电场是匀强电场

B.该静电场是非匀强电场

C.电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐减小

D.电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐增大

【解析】

值得注意的是电场强度E=-△Φ/△x有个负号；斜率为正，表示电场方向沿x负方向.

④导数在关联加速度上的应用示例4：在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以速度v₀，加速度a₀向左运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度v是多大和加速度a是多大？

【解析】

由速度关系，可以进而求出加速度之间的关系，不再同一直线上运动(涉及转动)的两物体，加速度关系不能类似于速度那样的关系(a₀=a·cosθ).

v₀=v·cosθ，v=v₀/cosθ，(θ也会随时间而变化，这是一个复合函数)

a=dv/dt

也可以用加速度合成法求解.

⑤导数在电磁感应与电容器结合的应用

示例5：如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并接触良好。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：

（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；

Q=CBLv

（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系.

二、利用导数求极值与单调性

示例：一木箱重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，用斜向上的力F拉木箱，使之沿水平地面匀速前进，如图所示.问角α为何值时拉力F最小？这个最小值为多大？

【解析】

受力分析

求cosα+μsinα的最大值

利用导数得：

f′(α)=-sinα+μcosα=0

α=arctanμ

把α代入即可求得F的最小值.

例题：如图所示，相距2r的两个等量同种正电上场强的最大值及位置.

【解析】

即求cos²θsinθ的最大值

令f(θ)=cos²θsinθ

在连续可导情况下

f'(θ)=cos³θ-2sin²θcosθ=0

cos²θ=2sin²θ

tanθ=√2/2θ=arctan(√2/2)

θ≈35.26°

示例：如图所示，滑块a和b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，b放在地面上，a和b通过铰链用刚性轻杆连接，轻杆的长度为L.轻杆初始在竖直方向，滑块a受到扰动由静止开始运动，不计一切摩擦，a和b可视为质点，重力加速度大小为g.在a下落的过程中，(BD)

并且分析a的速度如何变化，求解b的速度的最大值.

由系统机械能守恒得：

Va′(θ)=2sinθcos(1-cosθ)+sin³θ

此导函数的值大于零，则Va（θ）为增函数，即Va一直在增大.

Vb′(θ)=sinθcosθ(3cosθ-2)

此导函数有零点，且V′(θ)先大于零，后小于零，Vb先增后减.

当Vb′(θ)=0时，Vb具有最大值

sinθcosθ(3cosθ-2)=0

cosθ=2/3代入Vb得：

一般性解法：

Vacosθ=Vbsinθ

当θ=90°时，cosθ=0，Vb=0

b的速度从0到0，b的速度先增后减，杆子对b先做正功，后做负功，根据数学零点定理，必定有某点不做功，b的速度在该点速度有最大值，此时杆子的力Fɴ=0，a的机械能最小，b的机械能最大，a的加速度为g，b的加速度为0，b对地面压力为mg，此后a的加速度大于g，θ在增加，Va=Vbtanθ，在Vb增大的过程中，Va也在增大，在b减速过程中，杆子对b做负功，对a就做正功，a仍然加速，所以a一直在加速.

示例：在纯电阻电路中，输出功率和外电阻关系，当在电阻多大时，电源输出功率最大.

只需求R+r²/R的增减性

令f(R)=R+r²/R

对R求导得：f′(R)=1-r²·R⁻²

当f′(R)=1-r²·R⁻²=0时，

R＜r时，f′(R)＜0，f(R)为减函数，输出功率函数为增函数，R＞r时，f′(R)＞0，f(R)为增函数，输出功率函数为减函数，当R=r时，f′(R)=0，输出功率最大.

三、利用导数求变化率

例题：下图为一种早期发电机原理示意图，该发电机由固定的圆形线圈和一对用铁芯连接的圆柱形磁铁构成，两磁极相对于线圈平面对称。在磁极绕转轴匀速转动过程中，磁极中心在线圈平面上的投影沿圆弧XOY运动（O是线圈中心），则（D）

A.从X到O，电流由E经G流向F，先增大再减小

B.从X到O，电流由F经G流向E，先减小再增大

C.从O到Y，电流由F经G流向E，先减小再增大

D.从O到Y，电流由E经G流向F，先增大再减小

【解析】

磁极中心经过O点正上方时，磁通量最大，在连续可导情况下，磁通量对时间的一阶导数，也就是磁通量变化率为零，即感应电动势为零.

例题：如图所示，AOC是光滑的直角金属导轨，AO沿竖直方向，OC沿水平方向，ab是一根靠立在导轨上（开始时b离O点很近）的金属直棒，金属直棒从静止开始在重力作用下运动，运动过程中a端始终在AO上，b端始终在OC上.直到ab完全落在OC上，整个装置放在一匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里，则ab棒在运动过程中（BD）

A.感应电流方向始终是b→a

B.感应电流方向先是b→a，后变为a→b

C.所受磁场力方向垂直于ab向上

D.所受磁场力方向先垂直于ab向下，后垂直于ab向上

【拓展】

感应电流什么位置最小？

【解析】

x=Lsinθ，y=Lcosθ，S=xy/2

=½L²sinθcosθ=L²sin2θ/4

Φ=BS=BL²sin2θ/4

Φ′(θ)=BL²cos2θ/2

当Φ′(θ)=BL²cos2θ/2=0时，即θ=π/4时，E有最小值.

例题：质量为m的球从地面以初速度v₀竖直向上抛出，已知球所受的空气阻力与速度大小成正比.下列图象分别描述了球在空中运动的加速度a、速度v随时间t的变化关系和动能Ek、机械能E（选地面处重力势能为零）随球距离地面高度h的变化关系，其中可能正确的是（C）

值得注意的是电阻的定义是R=U/I而不是△U/△I，因此不能用求导的方法求电阻.

附录：

1.零点定理

如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即至少存在一个c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根。

2.一阶导数增减性，二阶导数凹凸性，三阶导数看拐点。

连续可导函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0，则递增；一阶倒数小于0，则递减；一阶导数等于0，则不增不减。

而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0，图象为凹；二阶导数小于0，图象为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。一阶导数可以用来描述原函数的增减性。

二阶导数可以用来判断函数在一段区间上的凹凸性，f”(x)>0,则是凹的，f”(x)<0则是凸的。

三阶导数用来找函数的拐点，拐点的意思是如果曲线f(x)在经过点(x₀,f(x₀))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称这个点为曲线的拐点。

3.常用导数表