传递函数与波特图

【前期基础阅读】

傅里叶级数的来龙去脉

傅里叶级数→傅里叶变换

从傅里叶变换到拉普拉斯变换

传递函数是控制工程和信号处理中的一个重要概念，它用于描述线性时不变系统的输入与输出之间的关系。以下是一个深入浅出的解释传递函数的概念：

1. 系统输入与输出：在控制工程和信号处理中，我们通常需要分析和设计各种系统，这些系统可以是电路、机械系统、数字滤波器等。这些系统都具有一个输入和一个输出。输入是系统接收的信号或激励，输出是系统产生的响应或结果。

2. 线性时不变系统：传递函数通常用于描述线性时不变系统，这是一类特殊的系统，其响应与输入之间的关系是线性的，而且不随时间而变化。这种系统的例子包括RC电路、机械弹簧阻尼系统以及数字滤波器等。

3. 传递函数的定义：传递函数是一个复数函数，通常用符号G(s)表示，其中“s”是复数变量。传递函数的定义是系统输出与输入的拉普拉斯变换的比值。通常表示为：

G(s) = 输出(s) / 输入(s)

这里，G(s)是传递函数，s是复数变量，输出(s)是系统的输出的拉普拉斯变换，输入(s)是系统的输入的拉普拉斯变换。我们就是用拉普拉斯变换后的电路特性来直接描述电路，这样方程中没有导数和积分，方便我们用加减乘除就可以完成解算。

4. 传递函数的重要性：传递函数提供了一种有效的方法来描述系统的动态特性。通过分析传递函数，可以了解系统的频率响应、稳定性、阻尼特性、共振频率以及如何对输入信号进行处理。这对于控制系统设计、滤波器设计以及系统建模和仿真都非常有用。

5. 传递函数的分子和分母：传递函数通常可以表示为分子和分母的比值，其中分子包含系统的零点（系统的特征，通常影响系统的增益）而分母包含系统的极点（系统的特征，影响系统的稳定性和阻尼）。传递函数的分子和分母通常是多项式表达式，它们的阶数可以告诉我们系统的阶数，从而了解系统的复杂程度。

6. RC电路分析实例：

RC充放电电路是电阻器应用的基础电路，在电子电路中会常常见到，因此了解RC充放电特性是非常有用的。

RC充放电是一个电路分析课程的基础内容，也是非常重要的内容。但是往往学习者陷入繁琐的微分方程计算中，而忽略物理本质。如图30.8所示是为了便于展示，做的一个仿真电路。我们用信号发生器产生一个1Hz频率脉冲波，接入一个RC电路。①处为输入信号，②处为经过一个RC电路之后的波形。

图 10.12 RC电路的仿真图

经过这个RC电路之后，我们可以视作一个延时电路，也可以视作一个滤波电路。从时域的角度，我们认为波形被延迟了。如图30.9所示，输出信号晚于输入信号到达高电平，我们可以通过调整R、C的数值，实现不同的上升时间，来满足我们的延时需求。

图 10.14 RC电路时域波形

同时这个电路也可以被视为一个RC滤波电路。我们通过仪器也可以看到，RC电路的波特图，如图10.15所示。RC电路是一个低通滤波器，相当于把脉冲信号上升沿和下降沿的高频分量进行了滤波，所以上升下降沿变得平缓。

图 10.15 RC电路波特图

一个简单的RC电路，其中输入是电压信号Vin(t)，输出是电容电压Vout(t)。可以使用传递函数来描述这个系统的动态行为。传递函数可以告诉我们在不同频率下，电压信号如何在电路中传输和衰减。

这个RC网络的输入电压我们定义为u（t），即激励电压；输出电压，即电路的响应，我们定义为y（t），如图10.16所示。

图 10.16 RC电路

我们可以得到：

电容电流取决于电容两端电压的变化率

则：

至此，我们建立了一个y（t）与u（t）相关的微分方程，其中我们把RC记为τ，这是RC电路的时间常数，与RC电路的电压上升时间有关。

考虑到电容一开始没有电存储，即电容器在t=0时，y(0)=0,我们可以对y（t）与u（t）的微分方程进行拉普拉斯变换，由

我们通过合并同类项、移项、约分等操作，得到一个Y(s)除以U（s）的关系式，也就是响应除以激励的拉普拉斯变换的结论，记为H（s）：

这个H（s）就是传递函数，我们用图像表示H（s）就是波特图。多个电路级联，就是传递函数级联，可以看成是各个模块提供了特定的频率响应，最终完整的传递函数就是每个模块传递函数的乘积，计算起来非常方便。

传递函数是控制工程和信号处理中的一个重要工具，它允许工程师分析和设计各种系统，并深入了解系统的动态特性。通过传递函数，我们可以预测系统的响应，优化控制策略，以及进行系统建模和仿真，从而在工程领域中应用广泛。

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