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函数在闭区间上一致连续的条件很好总结,也很好记,那就是闭区间上的连续函数一致连续。即在闭区间上,连续是一致连续的充要条件。那么函数在开区间上一致连续又有什么条件呢?是不是也是充要条件呢?
事实上,如果函数在开区间上任一收敛的自变量数列,对应的函数列的极限都存在,那么函数在开区间上就一致连续。这是函数在开区间上一致连续的一个充分条件,至于是否必要条件,不在这篇文章讨论的范围。
证明:设函数f定义在有限区间(a,b)上,若对于(a,b)内任一收敛数列{xn},lim(n→∞)f(xn)都存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.
证:若f在(a,b)上不一致连续,则存在ε0>0,对任给的δ>0,【这是反证法。只要有一个ε0使一致连续的定义不成立,就可以了。接下来证明不存在这样的ε0】
总有x’,x”∈(a,b),使得|x’-x”|<δ,但|f(x’)-f(x”)|≥ε0.【与一致连续的定义相反】
取δn=1/n (n=1,2,…),则相应有{xn’}与{xn”}⊂(a,b),【取分数单位数列{1/n}的所有项为δn,由于一个δ对应两个点,那些对应x’的点记为数列{xn’},对应x”的点记为数列{xn”},这两个数列都包含于开区间】
使|f(xn’)-f(xn”)|≥ε0.【且两个数列中对应项的函数距离都不小于ε0】
取收敛子列{x’_(nk)}⊂{xn’},{x”_(nk)}⊂{xn”},【由于这两个数列都是有界无限的,所以他们各至少有一个收敛子列】
∵0≤|x’_(nk)-x”_(nk)|<1/nk →0(k→∞),【而两个收敛子列的对应项距离肯定不小于0,但它又小于对应的δ_(nk)=1/nk】
∴lim(k→∞) x’_(nk)=lim(k→∞) x”_(nk),【当k趋于无穷时,δ_(nk)趋于0,由迫敛性知,两个收敛子列的极限相等】
即lim(k→∞)[f(x’_(nk))-f(x”_(nk))]=0,【而两个收敛子列对应项的函数子列对应项距离的极限也等于0】
∴当k充分大时,|f(x’_(nk))-f(x”_(nk)) |<ε0,矛盾.【显然,与上面假设的|f(x’)-f(x”)|≥ε0矛盾】
∴f在(a,b)上一致连续.
需要特别指出的是,“当自变量的极限存在时,可交换函数和极限符号的顺序,因此函数的极限也存在”,是这道题的重要依据。有兴趣的小伙伴们可以探究一下,这个条件是不是必要条件。
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