高数教材中，一致连续的这个充分条件，其实可以是充要条件

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

#头条创作挑战赛#

上一篇作品老黄在分享高数教材中一道关于“函数在开区间上一致连续的充分条件”练习时，发现它可以上升为充要条件。但教材只证明了充分性的部分，因此老黄决定补充证明必要性的部分。

证明：设函数f在有限区间(a,b)上一致连续. 证明：对于(a,b)内任一收敛数列{xn}，(lim)┬(n→∞)f(xn)都存在.

原题说开区间上任一收敛数列对应的函数列极限存在，即收敛，那么函数就在这个开区间上一致连续，这是充分性。反过来，在开区间上一致连续的函数，定义域上任一收敛数列对应的函数列都收敛，这就成了必要条件。只要两者都得证，那么“开区间上任一收敛数列所对应的函数列都收敛”就可以成为函数在开区间上一致连续的充要条件。

由于上一篇作品中老黄已经证明了充分性，因此下面只证必要性。

证：由f一致连续知，∀ε>0, ∃δ>0, 使得

当x’,x”∈(a,b)，且|x’-x”|<δ，就有|f(x’)-f(x”)|<ε.【这是一致连续的定义】

任取收敛数列{xn}⊂(a,b)，则总存在N, 使得

当xk, xj∈{xn}, 且k, j>N时, 就有|xk-xj|<δ, 【这是数列收敛的柯西收敛准则。一般用ε，但我们这里用δ，δ由ε决定，由于ε是任取的，所以它决定的δ实际上也是任取的。在这个地方，这个点上, ε和δ没有本质的区别，本质上，它们都是无穷小量，且可以是比绝对无穷小0除外的任意无穷小量高阶的无穷小量】

从而|f(xk))-f(xj))|<ε,【注意此时收敛数列的两个项也属于开区间，就回到了函数的柯西收敛条件，得到两个项的函数距离小于伊普西龙，，同时又可以把它看作是函数列的柯西收敛条件，即函数列符合收敛的充要条件】

即lim(n→∞)f(xn)存在.

由{xn}的任意性，得证！

结合充要性，这就成了函数f在有限区间(a,b)上一致连续的充要条件了.

其实也是闭区间一致连续的充要条件，只不过我们通常用不上它，因为闭区间上的一致连续，有更简单的充要条件，就是函数连续。