y5.场与联络

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（文章序列号：y5）

话题：#科学# #数学# #黎曼几何#

小石头/编

一个映射，值为数，称为函数，而若值为向量或张量，则称为场。

对于 函数 f: ℝᵐ → ℝ ，观察 y2 中给出的导射定义，

我们发现，若用 单位向量 h/|h| 替换 h，就可以得到 f 的方向导数，而，

于是，定义方向导数为，

当，f 升级为 向量场，

时，方向导数升级为，

以上得到的是，X 在 x 点 处，沿着 h ∈ ℝᵐ 的方向导数。又因为向量场，

在任意点 x ∈ ℝᵐ 处，确定了一个方向 Y(x) ∈ ℝᵐ，所以方向导数还可终升级为，

显然，对于 每个 x，DʏX(x) ∈ ℝᵐ 故，DʏX 也是一个向量场，若用 X(ℝᵐ)ℝᵐ 上的 全体 向量场，再加上 {∂/∂xⁱ} 是 ℝᵐ 的 标准正交基 的事实，则 最终得到，

可以验证 D 满足如下性质 A（设，X,Y,Z 是向量场，f 是函数）：

• DX+YZ = DxZ + DʏZ
• DfX Z = f DxZ；
• Dʏ(X + Z) = DʏX + f DʏX；
• Dʏ(fX) = Dʏf X + f DʏX；

这说明 D 具有双线性性。

再考虑，m维流形 M，令，

表示，M上的所有切向量，于是可定义 M 上的切向量场为，

与上面类似，用 X(M) 表示M上的全体切向量场，则可定义：

我们让 D 满足上面的性质A，并称 D 为 联络。由于性质A的双线性性，这里定义的联络，也叫 仿射联络。

由 y4 的知识知，在给定 参数化 ψ: V→U 后，每个 x ∈ U 对应的切空间 TₓM，都有 {∂/∂xⁱ|ₓ} 这个自然基底，于是有，

这是一个局部联络，我们无法保证整体一致性，也就是说：

设 ψ₁和ψ₂ 分别是 U₁和U₂ 上的 参数化，对应的局部联络分别是 D¹ 和 D²，我们无法保证，对于任意 x ∈ U₁∩U₂，一定有 D¹ʏX(x) = D²ʏX(x) 。

不过，我们可以证明：

• 流形上的全体联络是一个凸集，即，设 D¹, … , Dʳ 是联络，f₁, …, fᵣ 是 光滑函数 并且 ∑ᵢ₌₁ʳ fᵢ = 1，则 ∑ᵢ₌₁ʳ fᵢDⁱ 是联络。

于是，我们就可以用局部联络 拼出一个 整体联络，由于局部联络的选择是任意的，而拼用的函数 {fᵢ} 也是任意的，故存在 多个 整体联络。

看到这里，我们不禁会会问：除了上面这种将 局部联络拼接为整体联络 的方法外，有没有直接构造整体联络的方法呢？有！我们可以用 黎曼度量，诱导出一个整体联络，方法如下：

根据y3的知识，设，

是 M 上的黎曼度量。又设 D 是M的一个整体联络 并满足性质B（设，X,Y,Z∈X(M)）：

• X〈Y, Z〉= 〈DxY, Z〉+〈Y,DxZ〉；
• DxY – DʏX = [X, Y]；

其中，[X, Y] = X◦Y – Y◦X 称为 泊松括号积。

根据 性质B，以及内积的性质：

• 双线性性：〈ax + by, z〉= a〈x, z〉+ b〈y, z〉
• 对称性：〈x, y〉= 〈y, x〉

有，

于是得到，

对于 任意 参数化ψ:V→U ， 设 {∂/∂xⁱ|ₓ} 是 切空间 TₓM(x ∈ U)的自然基底，显然 ∂/∂xⁱ 都是 切向量场，而 DʏX(x) ∈ TₓM，于是可令，

再令，

则，

若记，

则 根据 内积的 双线性性 有，

以及，

与同理的，

又因，

故，

于是，

综上，由(1)可得，

根据《线性代数》的知识，若令 (gᵏˡ) 是 (gkl) 的逆阵，则最终有，

再考虑任意 切向量场，

根据性质A，以及(2)处定义，有，

括号里，第一项中有，

而将第二项求和全部展开，有如下图，

对于图中每层有，

交换下标 i 和 k 就得到，

于是，前式继续化简，有，

即，最终得到，

等式(4)说明，DʏX 完全由 Γkjⁱ 决定，而等式(3)又告诉我们 Γkjⁱ 完全由 黎曼度量 g 唯一决定 和局部参数化的选取无关，因此 DʏX 具有整体一致性。

不难验证 DʏX 满足 性质A 的要求，故 DʏX 就是由 黎曼度量 g 诱导的唯一的 联络，称为 黎曼联络 （或 Levi-Civita 联络），由于 黎曼联络 的特殊性（满足性质B），我们一般会用 ∇ 表示。

学过 《曲面论》的朋友，一定会意识到，(3) 处定义的 Γijᵏ 就是 曲面基本定理中 使用的 Christoffel 符号，实际上，黎曼几何 的很多知识，就是 曲面论 在流形上的扩展，以后还会进一步引入曲面论中的概念。

联络 D 中 场 X 和 Y 是任意的，这说明 D 实际上 联络的是 各个 切空间。联络虽然抽象自方向导数，但是它并不一定要是方向导数，实际上，联络有非常多个，而方向导数只有一个，当然，黎曼联络 同样不是唯一的。

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