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看到这个题目,您或许会有两个想法:
1.按按计算器就知道了,比如:√2=2^0.5=1.……;
2.是不是要介绍“手算开平方”?实在抱歉,曾经的我也不是个十分专心的学生,竟是忘了。当然,百度一下,再度钻研贴文也是可以的,不过兴趣待定。
其实,本文想说的还就是和想法1有关。您有没有想过:计算器又是怎样计算的呢?
我不确定计算器背后的算法一定是什么,但我确定的知道一种比较可行的方法:利用迭代函数迭代计算n次方根。今天就先来看看“二次方根”或“平方根”的计算方法。
二次方根迭代函数如下:
f(x)=x/2+C/(2*x)
其中:
x^2=C
或
C^0.5=x
即:函数中的C是被开方数,x是求解目标“二次方根”。
(备注:呃,请不要问我这个迭代函数是怎么来的,据说和“泰勒级数”有关,这得从“数学分析”中寻找答案,汗……)
什么是“迭代”?
①猜测一个初始值x0,比如:x0=1(不会猜,就选1);
②计算函数值x1,其中:x1=f(x0),即把x0代入迭代函数求值;
③迭代:x0=x1;
④反复循环②③两步直至符合指定的精度要求。
可见:迭代就是把上一次输出的结果作为下一次输入的结果并反复执行。
这样做神奇吗?来让我们试试。
例1.求根号2的值。
①x0=1
②x1= x/2+C/(2*x)=1/2+2/(2*1)=1.5
③x0=x1=1.5
④x1= x/2+C/(2*x)=1.5/2+2/(2*1.5)≈1.
⑤x0=x1=1.
⑥x1= x/2+C/(2*x)=1./2+2/(2*1.)≈1.
⑦x0=x1=1.
⑧x1= x/2+C/(2*x)=1./2+2/(2*1.)≈1.
⑨……
只需迭代4次就可以得到9位小数精度,足够应付很多计算需要了。
例2.求的平方根。
呵呵,手算基本是不可能的,小数位数多,会让人抓狂的,下面是电子表格计算的数据,供参考:
第1次 1
第2次
第3次
第4次 .5
第5次 77165.74993
第6次 38590.87441
第7次 19311.43279
第8次 9687.68106
第9次 4907.
第10次 2579.
第11次 1529.078654
第12次 1168.
第13次 1112.
第14次 1111.
第15次 1111.
……
迭代了15次后,达到了一般稳定精度要求。不过,如果初始值不是1,而是与准确值更接近一些,比如1000,则迭代次数会大幅下降,如下:
第1次 1000
第2次 1117.2835
第3次 1111.
第4次 1111.
……
仅需4次。初值的选择是很重要的,好的初值估计,算是核心技术。
本文算是帮您打开了一扇门,但同时,您会发现更多关上的门,比如:三次方根呢?四次、五次、小数次、无理数次……方根呢?比如:被开方数是小数、负数、无理数……呢?呵呵,这会让我们头很大的。
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