数的演化——真的、假的、虚的数｜书摘

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由Timothy Gowers著，齐民友译的《普林斯顿数学指南（三卷本）》已在赛先生书店上架，价格优惠，全场免邮，点击文章底部“阅读原文”购买此书。

中世纪的伊斯兰数学家不仅受到以阿尔·花拉子米为代表的实用的传统的影响，也受到希腊传统的影响，特别是欧几里得的《几何原本》的影响。在他们的著作里，人们可以找到希腊的精确性和比较实用的量度方法的混合物。例如在奥马尔·哈亚姆（Omar Khayyam）的《代数》一书里，就既有希腊风格的定理，又有求数值解的愿望。对三次方程的讨论中，哈亚姆既努力用几何作图的方法来求解，又哀叹自己不能找到数值。

然而，“数”的领域已经在慢慢地扩大。希腊人可能还是坚持不是一个数，而只是一条线段的名称，即面积为10的正方形的一边，或者是一个比。在中世纪的数学家中，不论伊斯兰还是欧洲的数学家，的性态都越来越像一个数，它进入了运算，甚至出现在某些问题的解答里。

对所有的数都给以同等地位

把十进制系统推广到分数，这个思想是几位数学家互相独立地发现的，其中最有影响的要推斯特凡（Simon Stevin，1548-1620）。他是弗兰德斯的数学家和工程师。他在1585年出版的一本名为De Thiende（原书为弗莱芒语，后来译为英语，书名《十进算术》）的小书中，普及了这个推广了的十进制系统。他把十进制推广到十分位、百分位等等，就创立了现在仍在使用的十进制小数。更重要的是，他解释了这个系统如何用于简化涉及分数的计算，给出了许多实际应用。事实上，书的封面上就宣布此书是为了“占星学家、测绘人员和地毯的量度者之用”。

斯特凡肯定知道他的举动所引起的某些问题。例如他知道1/3的十进小数展开是无限的。他的讨论只是说，尽管完全的无限的展开是正确的，但是在实际应用时加以截断不会造成多大的影响。

斯特凡也知道他的系统给出了一个方法，对每一个长度都提供一个“数”（指十进小数展开式），他看不出1.176 2与（前者是后者的小数展开式的前一部分）有什么区别，也看不出与1.414 213 562 3（后者是前者的小数展开式的前一部分）有什么区别。在《算术》一书（就是《十进算术》）中，他大胆地宣布，所有的（正）数都是平方数、立方数、四次方幂的数等等，所以都能开方，而且开方以后所有的根也都是数。他还说：“没有什么荒唐的数、没有道理的数、不正规的数、无法研究的数，或者无法听闻的数。这些称谓都是无理数的各种名称，而无理数就是非分数的数。

于是，斯特凡所提出的就是要把“量”或者“大小”的种种多样性都摆平，汇合成一个包罗所有的以十进制展开式来定义的数的概念。他知道，这些数可以用一条直线上的长度来表示，这就相当于现在相当清楚的称为正实数的概念。

斯特凡的建议由于对数的发明产生了大得多的影响。对数和正弦、余弦一样，是实际计算的工具。为了应用这些工具，就需要制表，而表就需要用十进制小数来表示。很快，人人都使用起了十进制表示。但是，到晚得多的时候人们才了解，这个举动是多么大的跃进。正实数不仅是构成大一点的数系，而且构成了大得不可比拟的数系，它的内部的复杂性至今还没有被完全理解（见集合理论）。

真的，假的，虚的

当斯特凡在写作时，以后的步骤也在进行：在方程式理论的压力下，负数和复数都变得有用了。

斯特凡本人就已经意识到负数，虽然很明显，他并不喜欢负数。例如他是这样来解释 -3 是方程 + x – 6 = 0 的根的，他说，这就是指的3是相关的方程 – x – 6 = 0 的根，后一个方程是在前一个方程中用 -x 代替 x 而得到的。

这自然是一个简单的逃遁之道，但是三次方程式就产生了更困难的问题。由于16世纪好几位意大利数学家的工作，得出了一个求解三次方程式的方法。关键的一步里包含了求一个平方根。问题在于需要求其平方根的数，有时是负数。

在那以前，如果一个代数问题导致求某个负数的平方根，则这个问题总是无解的。但是方程式 = 15x + 4 确实是有解的—— x =4 就是一个解——而在对它应用三次方程式的公式时就需要算出。

另一位意大利数学家和工程师庞贝里决定来啃这块硬骨头，看一看究竟发生了什么事。在他的1572年出版的《代数学》一书里，他硬着头皮往前闯，计算了这个“新的根式”，而且发现这样就可以找到三次方程式的解。这表明，三次方程式的公式这时仍然能用，更重要的是表明了这些奇怪的新数也可以是有用的。

要使人们对这些新的量感到舒服需要一段时间。大约五十年后，我们发现，Albert Girard（1595–1632，生于法国死于荷兰的数学家）和笛卡儿都说，方程式可以有三类根：真的（意为正根）、假的（意为负根）和虚的。还不完全清楚，他们所理解的虚根是否就是现在的复数根；至少，笛卡儿有时说，一个n次方程式一定有n个根，那些既不“真”又不“假”的根一定是虚根。

然而，复数也慢慢地被人使用了，它出现在方程式的理论中，出现在关于负数的对数的辩论中，而且与三角函数有关。通过指数函数而与正弦和余弦函数的联系，复数在18世纪成了欧拉的有力工具。到18世纪中叶，人们都知道了，每一个多项式都有一组完全的复数根。这个结果以代数的基本定理知于世。最后，高斯给出了大家满意的证明。这样，方程式的理论并不要求数的概念再有任何推广。

数系，老的和新的

因为复数与实数明显不同，它们的出现就刺激人们开始把数分成不同的类别。斯特凡的平等主义确实有影响，但是不能消除完整的数要比十进制小数好，分数要比无理数好这样的事实。

到了19世纪，种种新思想要求对于数的分类作更仔细的考察。在数论方面，高斯和库默尔开始考虑那些在某方面类似于整数的复数所成的集合，例如所有形如 a + b 而a和b均为整数的复数的集合。在方程式理论方面，伽罗瓦指出，为了对方程式的可解性作细心的分析，就必须对于哪些数可以算作是“有理的”取得共识。这样，例如他就指出，在阿贝尔关于五次方程式不可解的定理中，“有理”就是指“可以表示为多项式之商，而且这些多项式是指以原方程系数为符号的多项式”，他还指出，这些表达式的集合服从通常的算术的规则。

在18世纪，兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728–1777，瑞士数学家）证明了e和π都是无理数，他还猜测，它们事实上是超越数，就是说它们不会是任何整数系数多项式方程的根。当时，甚至超越数是否存在也属未知；1844年，刘维尔证明了这种超越数确实存在。不过几十年间，e和π都是超越数也得到了证明，而在19世纪末，康托证明了事实上绝大多数实数都是超越数。康托的发现第一次突出地强调了下面的事实：由斯特凡所普及了的数的系统真是深不可测。

然而，数的概念的最大的变化来自哈密顿1943年发现一个全新的数系以后。哈密顿注意到，用复数（而不是简单地用一对实数）来将平面坐标化，会大大地简化平面几何。他就开始来找一个类似的途径来把三维空间坐标化。这件事后来证明是不可能的，但是把哈密顿引导到一个四维的系统，他称之为四元数。这些四元数的性态很像是数，但有一个关键性的区别：乘法不是可交换的，就是说，若q和q’是两个四元数，则’和q’q一般是不相同的。

四元数是第一个“超复数”系，而它的出现带来了许多新问题。还有其他的这种数系吗？什么才算是数系？如果说某些“数”不能满足交换律，那么能不能造出破坏其他规则的数来？

从长期来看，这种智慧上的发酵引导数学家慢慢地放松了“数”或“量”这些模糊的概念，而紧紧抓住代数结构这个比较形式的概念。到头来，每一个数系无非就是一个可以在其上进行运算的实体的集合。使我们感兴趣的是，它们可以用来把我们关心的系统参数化，或者说坐标化。完整的数（现在可以使用它的来自拉丁文的形式化的名字：整数）可以用来把计数概念形式化，而实数可用来把直线参数化，从而成为几何学的基础。

到了20世纪初叶，已经有许多著名的数系了。整数傲居首位，后面是逐步放大的层次：有理数（即分数）、实数（即斯特凡的十进制小数，但是已经仔细地形式化了）以及复数。比复数更一般的还有四元数。但是绝不是仅有这些数系。数论学家搞出了几个不同的代数数域，它们是复数的子集合，但是又可以看作自治的系统。伽罗瓦引进了一些有限的系统，它们服从算术的通常的规则，而现在就称之为有限域。函数论专家要和几个函数域打交道，他们肯定不认为这些是数，但是它们和数的类同已经被人们看到了并研究过。

20世纪初，亨泽尔（Kurt Hensel）引进了p进数，它是从有理数中赋予素数p以特殊的作用而得出的（因为p可以随意取，所以事实上亨泽尔创造了无穷多个新数系）。它们也“服从算术的通常的规则”，这句话是指加法和乘法的形式正如我们的预期。用现代语言来说，它们都是域。p进数是事物的第一个这样的系统，它们被承认为数，但是又与实数和复数没有看得见的关系——只有一点除外，即它们都包含有理数。结果是它们引导斯坦尼兹（Ernst Steinitz，1871–1928，德国数学家）创造了域的一般理论。

出现在斯坦尼兹的工作里的、向着抽象化的运动在数学的其他部分也发生了，值得注意的是群及其表示的理论以及代数数理论。所有这些理论被艾米·诺特汇集成一个概念的整体，艾米·诺特的计划后来就称为“抽象代数”。这门学科把数完全抛到后面，而集中注意带有运算的集合的抽象结构。

今天，要决定什么样才算是一个“数”已经不太容易了。原来的序列“整数、分数、实数和复数”中的对象肯定要算是数，p进数也算是数。但是，另一方面，四元数极少有人把它们算是“数”，虽然它们也被用来把某些数学概念坐标化。事实上，还有更奇怪的系统，如凯莱的“八元数”也作为坐标而出现。说到底，什么可以用于把手头的问题坐标化，我们就把什么作为数。如果这样的数系还不存在，人们就会去发明它。

以上内容摘自《普林斯顿数学指南（全3卷）》第一卷的第Ⅱ部分——现代数学的起源。

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