一文读懂降维算法

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降维算法是一种用于高维数据降维的方法，可以将高维数据映射到低维空间，便于更好地对数据进行分析和可视化。降维算法的目的是为了减少数据的冗余和噪声，提高数据的质量和效率，发现数据的内在结构和规律。

降维算法可以分为线性降维算法和非线性降维算法两大类。

线性降维算法是指通过线性变换将高维数据映射到低维空间中的算法，常用的线性降维算法有主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）、因子分析（FA）等。

• PCA 是一种无监督的降维算法，它通过寻找数据的最大方差方向来提取主要成分，从而实现数据的压缩和去相关。PCA 的数学原理是通过特征值分解或奇异值分解来求解协方差矩阵或数据矩阵的特征向量，然后将数据投影到特征向量所构成的新坐标系中。
• LDA 是一种有监督的降维算法，它通过寻找数据的最优投影方向来实现类间距离最大化和类内距离最小化，从而提高分类性能。LDA 的数学原理是通过求解广义瑞利商问题来得到最优投影矩阵，然后将数据投影到新坐标系中。
• FA 是一种探索性的降维算法，它通过假设数据由公共因子和特殊因子两部分组成来揭示数据的潜在结构，从而实现数据的简化和解释。FA 的数学原理是通过极大似然估计或最小二乘估计来求解因子载荷矩阵和因子得分矩阵，然后将数据表示为因子模型的形式。

非线性降维算法是指通过非线性变换将高维数据映射到低维空间中的算法，常用的非线性降维算法有多维尺度变换（MDS）、等距特征映射（ISOMAP）、局部线性嵌入（LLE）、拉普拉斯特征映射（LE）、t-分布随机近邻嵌入（t-SNE）、统一流形近似与投影（UMAP）等。

• MDS 是一种基于距离保持的降维算法，它通过要求原始空间中样本之间的距离在低维空间中得以保持来实现流形结构的恢复。MDS 的数学原理是通过双中心化处理和特征值分解来求解距离矩阵的特征向量，然后将数据投影到特征向量所构成的新坐标系中。
• ISOMAP 是一种基于测地距离保持的降维算法，它通过要求原始空间中样本之间的测地距离在低维空间中得以保持来实现流形结构的恢复。ISOMAP 的数学原理是通过构建邻域图和求解最短路径来计算测地距离矩阵，然后利用 MDS 算法来实现降维。
• LLE 是一种基于局部线性重构的降维算法，它通过要求原始空间中样本的局部线性关系在低维空间中得以保持来实现流形结构的恢复。LLE 的数学原理是通过求解最小二乘问题来计算重构权重矩阵，然后通过特征值分解来求解低维嵌入矩阵。
• LE 是一种基于拉普拉斯特征映射的降维算法，它通过要求原始空间中样本的局部几何关系在低维空间中得以保持来实现流形结构的恢复。LE 的数学原理是通过构建邻域图和计算拉普拉斯矩阵来描述样本的局部几何关系，然后通过特征值分解来求解低维嵌入矩阵。
• t-SNE 是一种基于概率分布匹配的降维算法，它通过要求原始空间中样本的条件概率分布与低维空间中样本的联合概率分布尽可能相似来实现流形结构的恢复。t-SNE 的数学原理是通过使用高斯分布和 t 分布来计算概率分布，然后通过最小化 KL 散度来求解低维嵌入矩阵。
• UMAP 是一种基于拓扑数据分析的降维算法，它通过要求原始空间中样本的拓扑结构与低维空间中样本的拓扑结构尽可能相似来实现流形结构的恢复。UMAP 的数学原理是通过构建模糊集合和最近邻图来描述样本的拓托结构，然后通过最小化交叉熵来求解低维嵌入矩阵。