苏教版五年级下册【第三单元因数和倍数】教材分析

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本单元继续教学整数的知识，编排目的主要有两点：一是进一步丰富自然数的知识，二是为即将教学分数作知识准备。

一到四年级教学整数，重点放在数的意义和计数方法上。学会了自然数的读写方法，领会了自然数的基数含义与序数含义，掌握了自然数的顺序和大小，会用自然数表示日常生活里的事情或现象……本单元着重教学自然数之间的因数与倍数关系，求各个自然数的因数与倍数、两个自然数的公因数与公倍数。显然，这些知识能丰富学生对自然数的认识，而且为教学分数的约分、通分作了必要的知识准备。全单元一共编排十二道例题，具体安排见下表：

例1 因数和倍数的含义

例2 找出一个数的全部因数

例3 从小到大列举出一个数的倍数

例4 2和5的倍数的特征

例5 3的倍数的特征

例6 质数和合数的意义

例7 质因数的意义

例8 分解质因数

例9 公因数的意义

例10 求两个数的公因数与最大公因数

例11 公倍数的意义

例12 求两个数的公倍数与最小公倍数

从上表可以看到本单元教学内容的编排有以下两个特点：

第一，十分重视知识的内在联系，把相关的知识内容组织成“块”，一块一块地教学，帮助学生建立良好的认知结构。如，因数和倍数是两个既相互对立又密切联系的概念，把因数与倍数的教学结合起来，有助于理解两个有关自然数之间的因数与倍数关系，并在理解概念的基础上，掌握求一个数的因数与倍数的方法。又如，2、3、5的倍数的特点直接关系到分数的四则计算，必须很好地掌握。2和5的倍数的特点表现在这些数的个位上，3的倍数特点表现在它各位上的数的和上面。

把2和5的特点结合起来教学能节省教学时间，避免乏味的重复。把3的倍数特点和2、5的倍数特点分开教学，有利于分散难点、突破难点。再如，把质数、合数以及分解质因数结合起来教学，可以突出“质数”概念，既理解其意义，又应用于分解质因数的活动。另外，两个数的公因数、公倍数知识，要建立在一个数的因数与倍数的基础上，尽管公因数与公倍数是不同的概念，却也有一定的相似性。例9～12先教学两个数的公因数，接着教学两个数的公倍数，前面知识的教学会影响后面知识的教学。像这些有次序地安排概念教学，体现了概念形成的一条原理：适当改变已有概念的内涵，能产生新的概念。

第二，密切关注基本技能的及时形成。本单元教学的知识将直接影响分数的四则计算，进行分数加、减计算经常要通分，需要求两个数的最小公倍数；进行分数乘、除计算经常要约分，需要求两个数的最大公因数。这些都表明，求两个数的最大公因数和最小公倍数是分数计算的基础，必须很好地掌握。为此，教材细致地安排了求一个数的因数与倍数，求两个数的公因数与公倍数，以及2、5、3的倍数特征的教学，并且配备了比较充分的练习，确保基本技能的逐步形成。（一） 联系具体的乘法算式，教学非0自然数之间的因数与倍数关系，探索找出一个数的全部因数与部分倍数的方法

研究因数和倍数一般在非0自然数范围内进行，可以避免不必要的麻烦，使因数和倍数知识更有应用价值。教材在本单元的标题上加了*号，用底注明确规定了“所说的数一般指不是0的自然数”。

本单元的前三道例题，先教学因数与倍数的概念，再分别教学求一个数的因数和倍数的方法。这三道例题密切相关，是建立概念并应用概念的过程，为全单元的教学奠定了基础。

1. 在拼长方形活动中得出乘法算式，利用乘法算式介绍因数和倍数的概念。

例1的教学分两段进行：先是用12个同样大的正方形拼一个长方形。学生对这个活动应该很熟悉，几乎人人都知道有不同的拼法，能够顺利地拼出三个长、宽各不相同的长方形，并且根据各个长方形中每行正方形的个数与行数，把三个长方形分别表示成4×3＝12、6×2＝12、12×1＝12。然后以4×3＝12为例，指出4和3都是12的因数，12是4的倍数，也是3的倍数。揭示了整数乘法式子里的因数和倍数关系。还要求学生说出另两道乘法算式里，谁是谁的因数、谁是谁的倍数，初步内化因数和倍数的概念。

教材这样安排有两个原因：一是置枯燥的数学内容于有趣的操作活动之中，在现实的情境里提取数学材料，给抽象的概念以具体的背景，有助于学生联系现实情境和已有经验，意义接受因数和倍数的含义。二是给学生提供举一反三的机会，用4×3＝12里学到的因数、倍数知识，解释6×2＝12、12×1＝12这两个乘法式子里的因数、倍数关系，能调动学习的积极性和主动性，在比较丰富的素材里充分体会数学概念的内涵与外延，使形成的概念扎实、厚实。教学这道例题一定要注意，因数和倍数是描述自然数之间关系的概念，客观存在于两个具体的自然数之间。因此要用完整的语句表示这些关系。如12是4的倍数，4是12的因数。不能说成12是倍数、4是因数。

小学数学不给因数和倍数下抽象的定义，只是列举若干个实例，指出两个自然数之间的因数与倍数关系。为了使学生充分体会因数和倍数的概念，练习五第1、2两题，联系做团体操排队和乘坐小艇付费这些具体事例，根据“每排人数×排数＝24（人）”“4（元）×乘坐人数＝应付钱数”，理解这里的每排人数和排数都是24的因数，应付元数都是4的倍数。这两题有充实体验、加强概念的作用。

2. 在因数和倍数概念的基础上，探索求一个数的因数与倍数的方法。

例2和例3分别求一个数的因数和求一个数的倍数。虽然教学内容不同，教学方法却很相似。都是利用初步建立的因数或倍数概念，联系已经掌握的乘、除法口算，在探索中推理、计算，找到相应的方法。

例2要求找出36的全部因数。教材围绕两点组织教学活动：一是什么样的数才是36的因数？二是怎样找到36的全部因数？关于前面一点，抓住因数的概念可以得出“凡是乘积为36的两个自然数，都是36的因数”，这就是“辣椒”卡通的想法“看36是哪两个数相乘得到的”。如果用数学式子表示就是“蘑菇”卡通想的“依次列举积是36的乘法算式：1×36=36，2×18=36……”每一个这样的乘法算式中，都能找到36的两个（或一个）因数。这是求一个数因数的基本思路，它既从因数的概念得出，又加强了对因数概念的理解。部分学生还能在除法算式里看出因数与倍数关系，所以也会有人像“萝卜”卡通那样思考“依次列举除法算式：36÷1=36，36÷2=18……”在每一个除法算式里找到36的两个（或一个）因数。教学不要把上面两种方法割裂开来，更不要对立起来，而应该有机联系起来。

利用乘、除法的关系，把想乘法式子里的乘数，转化为想除法算式的除数与商。如果一个乘数是2，另一个乘数是36÷2＝18；如果一个乘数是3，另一个乘数是36÷3＝12……例题里可以找到的乘数比较多，也就是36的因数比较多，需要有序地寻找，才会不重复、不遗漏地找到36的全部因数。于是从1×（）=36或者从36÷1=（）开始，依次尝试2×（）=36或36÷2=（）、3×（）=36或36÷3=（）、4×（）=36或36÷4=（）、6×（）=36或36÷6=（）。教材只写出少量几道乘法算式或除法算式，留出大部分算式让学生填写，按照乘数或除数是1、2、3……的次序，继续列举后面的乘法算式或除法算式。

教学还应该在5不是36的因数，以及算到36÷6为止这两点上稍作停留，让学生体会有序寻找的重要性。找到一个数的全部因数以后，可以用陈述的语言把因数从小到大一一列出，如“36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36”或者用集合的形式表示，画一个椭圆，在它上面注明“36的因数”，里面写找到的全部因数。

“试一试”分别找出15、16的因数。15的因数较少，容易找全；16的因数较多，往往会遗漏。仍然要抓住什么样的数是15（16）的因数，怎样有序地找到15（16）的所有因数，以帮助学生及时消化求一个数的因数的思路与方法。教材还要求观察36、15、16的因数，寻找其中蕴含的规律，发现一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。这些规律有助于学生开展找因数的活动：通常从1开始，找到本身为止，其他因数都在1和它本身之间。

例3从小到大找出若干个3的倍数，教学线索与例2相似，也是先形成思路，再有序地寻找。采用的思路是“3和任何非0自然数的乘积都是3的倍数”，这个思路与倍数的意义完全一致，容易理解，还容易操作。教学这道例题要注意两点：一是引导学生从“3的倍数是什么样的数”想起，形成思路、确定算法。然后从小到大逐个寻找，并按顺序写出来。二是让学生注意教材写出的几个省略号。写在“蘑菇”卡通的算式3×1=3、3×2=6下面的那个省略号，表示继续把3依次乘3、4、5、6等等，可以一直乘下去，每个乘积都是3的倍数。写在“萝卜”卡通自然数1、2、3后面的那个省略号，表示有无数多个自然数与3相乘。写在排列3的倍数的陈述语句后面的省略号，表示3的倍数的个数无限多。这样，学生就能理解一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大的倍数。

练习五第3题配合例2和例3的教学。30的因数应该一个不漏全部写出；4的倍数只能从小到大列举出若干个，并用省略号表示还有许许多多没有写出来；50以内7的倍数有7、14、21、28、35、42和49，应该依次全部写出，但不能写省略号，因为50以内7的倍数只有七个。第4题，数轴上已经表示出0~24各数，要求在6的因数上画“△”，在6的倍数上画“○”。这题能帮助学生体会6的因数都小于或等于6，6的倍数都等于或大于6，6的最大因数和最小倍数是它本身。

（二） 在“百数表”里找5的倍数、2的倍数、3的倍数，认识5、2、3的倍数的特征

例4和例5教学5、2、3的倍数的特征。掌握这些特征，能够判断哪些数有因数5、2、3，将对以后的约分有积极的作用。

判断一个数是不是2的倍数，是不是5的倍数，都看这个数的个位上是几，方法是一致的。判断一个数是不是3的倍数，要看它各位上数的和是不是3的倍数，方法与2和5的倍数完全不同。所以教材编排两道例题，把5和2的倍数特征安排在一道例题里教学，把3的倍数特征放在另一道例题里教学。两道例题以及配套的“练一练”都是“寻找特点——利用特点”的教学线索，给学生很大的自主活动空间。

1. 5的倍数的特征比2的倍数更为简单，例4由易到难，先教学5的倍数的特征，再教学2的倍数的特征。

教材给出一张“百数表”，便于寻找5的倍数和2的倍数，容易看到5的倍数与2的倍数的特点。圈数、观察、归纳、验证是主要的学习活动。

在百数表里5的倍数上画“△”，2的倍数上画“○”，于是表里出现二列画“△”的数、五列画“○”的数，其中一列数上既画“△”也画“○”。这些符号把学生的注意集中到5的倍数或2的倍数上，启发学生发现它们个位上的规律，产生关于5的倍数或2的倍数的特征猜想。

百数表里还有许多没有画“△”也没有画“○”的数，它们个位上的数与5的倍数、2的倍数个位上的数不同，它们都不是5的倍数或不是2的倍数。这些反例也证实5、2的倍数特征表现在数的个位上，于是得出像“蘑菇”“萝卜”卡通说的那些结论：5的倍数，个位上是5或0；2的倍数，个位上是2、4、6、8或0。

在初步认识5的倍数与2的倍数的特征的基础上，教材里还安排两点内容：一是什么样的数既是2的倍数，又是5的倍数？这样的数同时具有2的倍数特征和5的倍数特征，即具备2的倍数和5的倍数的共同特征。在个位上是5和0的数中，后者也是2的倍数。在个位上是2、4、6、8、0的数中，最后一种也是5的倍数。所以说，一个数如果既是2的倍数，又是5的倍数，它的个位上一定是0。这个规律在“百数表”中既画“△”又画“○”的那一列数上表现得很清楚。

二是什么样的数是偶数，什么样的数是奇数？认识偶数与奇数，能进一步加强对2的倍数的体验，也是对自然数的进一步了解。在教学奇数、偶数以后，还可以组织学生反思5的倍数、2的倍数的特征。5的倍数是5乘1、2、3……的积，如果5乘一个奇数，积的个位上一定是“5”；如果5乘一个偶数，积的个位上一定是“0”。这些也表明5的倍数特征表现在它的个位上。关于2的倍数特征，也能像这样体会。

2. 发现3的倍数的特征比较难，应给学生较多点拨与帮助。

教学3的倍数的特征，例5作了五步安排，既给学生充分的活动空间，又及时调控他们的思考。

第一步在百数表里3的倍数上画“○”，初步看到3的倍数与2或5的倍数不同，分散在表的各行各列。由此联想3的倍数的特征可能与2、5的倍数不同。

第二步集体讨论“个位是3、6、9的数都是3的倍数吗？”在百数表里看到画“○”的数的个位上不都是3、6、9，还有其他的数。而有些个位上是3、6、9的数上没有画“○”，它们不是3的倍数。如果再写出一些稍大的、个位上是3、6或9的数，逐一检验是不是3的倍数，能进一步知道，3的倍数的特征不表现在数的个位上。于是产生像“辣椒”卡通那样的疑问“从个位上看不出3的倍数的特征，该怎么办”。从而形成继续探索的心向。

第三步指点新的探索方向：把3的倍数表示到计数器上，看看用了几颗数珠。先找些较小的数，再找些较大的数。算出表示每个数所用数珠的颗数，初步发现数珠的颗数总是3、6、9、12等。这一步对发现3的倍数特征十分重要，要适当多安排些时间。使学生知道，在计数器上表示3的倍数，需要的数珠会是3颗、6颗、9颗、12颗……而3、6、9、12等数，都是3的倍数。

第四步把数珠颗数转化为各位上数的和，初步发现3的倍数的特点。这一步是教学的难点，要引导学生从“数的某一位上是几，计数器的这一位上就拨几颗数珠”这一事实，理解计数器上数珠的总颗数就是这个数各位上数的和。从数珠颗数是3的倍数，推理出各位上数的和是3的倍数。

第五步通过反例证实3的倍数的特点。找几个不是3的倍数，算算它们各位上数的和，看看是不是3的倍数。从不是3的倍数，各位上数的和不是3的倍数，进一步确认3的倍数的特征。

上面五步教学活动是连贯的，步步深入，逐渐接近数学的本质内容。还是严谨的，不仅研究了事件的正例，也研究了反例，得到的结论站得住脚。更是符合儿童认识规律的，借助形象直观，及时进行抽象与归纳，能够有效地突破难点。

关于3的倍数的“练一练”，教材围绕“各位上数的和”这个关键，进一步加强对特征的认识。除了直接根据3的倍数的特征，判断一些数是不是3的倍数，还有判断除数是3的除法有没有余数，其实就是判断被除数是不是3的倍数。这种变化的问题能维持学生的练习热情，提高练习质量。值得注意的是练习五第8题，像20□这样的三位数，如果是3的倍数，□里可以填1、4或7。这样具有一定开放性的题，突出的是基础知识，活跃的是数学思考。

练习五第7题先让学生列举一些4的倍数，进而发现它们都是2的倍数。第10题列举一些6的倍数，想想它们也是几的倍数。从这些实例中可以概括出这样的结论：某个数的倍数，一定是这个数因数的倍数。第14题，3个连续自然数的和一定是3的倍数，3个连续奇数的和或3个连续偶数的和，也一定是3的倍数。可以通过具体的数来证实，如15、16、17的和48，是3的倍数；24、26、28的和78，是3的倍数；17、19、21的和57，是3的倍数。利用字母表示数也可以证明出上述结论是正确的。如3个连续自然数a-1、a、a+1，它们的和3a，是3的倍数。3个连续偶数（奇数）a-2、a、a+2，它们的和3a，是3的倍数。

（三） 通过写因数、比因数个数等活动，建立质数和合数的概念

例6教学质数和合数。教学活动的线索是：分别找出2、3、5、6、8、9的因数→按因数的个数把这些自然数分类→揭示质数和合数的概念。写出六个自然数的因数并不难，按因数个数把六个自然数分类，需要稍微点拨一下。否则，学生有可能分成2个因数、3个因数、4个因数等几类，不按质数与合数的概念需要来分类。揭示质数和合数的意义，教学语言必须十分准确。尤其是“只有”“除了……还有”，一定要咬文嚼字，不能有半点含糊。

这部分教材在编写上有三个特点：一是在写2、3、5、6、8、9的因数时，利用已有能力，让学生在独立写因数的过程中，体会这些自然数的因数个数不同。二是用填空形式，把2、3、5、6、8、9按因数个数分成“因数只有两个”“因数有两个以上”两类，避免分类时的混乱和不必要的纠缠。三是突出质数概念的内涵“只有……两个因数”，合数概念的内涵“除了……还有……”。另外，教材还通过1只有一个因数，得出1既不是质数，也不是合数。

关于质数和合数的教学要求是：理解质数与合数的意义，能够根据概念判断一个数是质数还是合数。“试一试”和“练一练”都要求先写出各个自然数的所有因数，再说出这些自然数是质数还是合数。练习六第1题运用“筛法”，在2～50这些数中划掉所有的合数，剩下50以内的质数。从中能够体会到这样几点：一是2、3、5、7等质数，除了本身，它们的倍数都是合数（应该划去的数）；二是2～50这些数，不是质数，就是合数；三是非0自然数按因数的个数分类，有1、质数、合数三类。如果能够记住20以内的八个质数：2、3、5、7、11、13、17、19，会有利于以后的约分。

其实，判断一个数是不是质数，并不要把它所有因数都写出来。如果这个数只有1和它本身两个因数，则一定是质数。如果一个数除了1和它本身，只要再找到另一个因数，就能确认一定是合数。如，练习六第6题，13、23、33、43这四个数中，33除了1和它本身，还有因数3，肯定是合数。19、29、39、49这四个数中，49除了1和它本身，还有因数7，一定是合数。

教学质数和合数以后，学生可能对质数、合数、奇数、偶数等概念混淆不清。为此，单元整理与练习中设计了第6题，在1～20的数表中，用“○”圈出偶数，用“△”圈出质数。圈数时必须想什么是质数、什么是偶数，这就澄清了质数和偶数的概念。还会思考“所有质数都是奇数吗？所有合数都是偶数吗？”数表里的2既圈○，又圈了△，表明质数中有一个偶数。数表里有些奇数没有被圈△，表明合数有可能是奇数，即合数不都是偶数。这些现象，能帮助学生进一步区分质数与奇数、合数与偶数等不同的概念。教学一定要注意，这里不是让学生记住两个问题的答案，而是分清各个概念。明白质数和合数是把自然数按因数的个数分类，奇数和偶数是按自然数有没有因数2（是不是2的倍数）分类。

（四） 在认识质数与合数的基础上，教学分解质因数

质因数指的是整数乘法算式里的某些因数，分解质因数是把合数写成两个或几个质数相乘的形式。小学数学教学质因数的概念和分解质因数的方法，有助于后面进行的分数四则计算，也有益于第三学段教学因式分解。

教学质因数是形成一个数学概念，而分解质因数是质因数概念的具体应用。所以教材编排两道例题，分别教学质因数的概念和分解质因数的方法。

1. 联系实例教学质因数的概念。

任何一个非0自然数都能看成两个自然数的乘积，都能写成两个自然数相乘的形式，这两个相乘的数都是积的因数。如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。可见，质因数是因数与质数这两个概念的“复合”。更确切地说，一个数的质因数是它所有因数中的一部分，是它的质数因数。所以，例7教学质因数概念，采用了“因数概念+质数概念”的模式。先指出乘法算式5=1×5、28=4×7里的因数，再从因数中找出质数，针对找到的“质数因数”介绍质因数概念的内涵，让学生意义接受质因数这个概念。

教学例7可以让学生“看”给出的两个乘法算式，“识”乘法算式的因数是质数还是合数，“读”教材里关于质因数概念的介绍，“想”质因数的概念内涵，“找”乘法算式里的质因数。在一系列学习活动中，逐步建立质因数概念，体验质因数概念的本质特征。一般而言，质数可以写成1乘本身的形式，1不是质数，不可能是质因数，本身是这个数的质因数。合数可以写成两个数（1和本身除外）相乘的形式，这两个因数可能是积的质因数，可能不是积的质因数，也可能一个是积的质因数，另一个不是积的质因数。学生理解这些情况需要一个过程，需要在现实的情境里逐步学会识别。练习六第4题为辨别因数与质因数而设计安排，35=5×7里，5和7都是35的质因数；27=3×9里，3是27的质因数，9只是27的因数，不是质因数。

2. 分解质因数是应用质因数概念的推理过程。

把一个合数写成两个或几个质因数相乘的形式叫作分解质因数。如果被分解的合数不是很大，一般通过口算来分解质因数。

例8教学分解质因数，包括两个内容：一是分解质因数的含义，即什么是分解质因数；二是分解质因数的方法，即怎样分解质因数。

教材把这两个内容结合起来，让学生“把30用几个质因数相乘的形式表示出来”。为了便于分解，例题设计了分解30的“板块”：先把30写成2×15，2是30的质因数，15不是质因数；再把15写成3×5，3和5都是15的质因数，也就是30的质因数。所以30分解质因数应该写成30=2×3×5的形式。学生在上面的分解过程中，感受了把一个合数写成几个质因数相乘的思想方法，体验了分解质因数的含义和方法。教学例8还应该让学生明白两点：首先，合数才能分解质因数。因为质数只能写成1与本身相乘的形式，而1既不是质数，也不是合数，所以质数谈不上分解质因数。其次，分解质因数是改变已有合数的表现形式，把某个合数写成两个或几个质数相乘的式子，它有特定的书写格式。

（五） 在铺图形的活动中引出数学概念，教学公因数、公倍数的意义；利用概念，探索求两个数公因数和公倍数的方法

经过前面几道例题的教学，学生建立了因数和倍数的概念，会找到一、两位数的全部因数，会求较小数的倍数，已经具有教学两个数的公因数和公倍数的条件。例9与例11分别教学公因数、公倍数的概念，例10与例12分别教学求两个数的公因数与最大公因数、求两个数的公倍数与最小公倍数的方法。教学这些概念和方法，能为以后约分、通分，进行分数四则计算作些准备。

1. 公因数和公倍数都从铺图形的活动中引出。

例9分别用边长6厘米、4厘米的正方形铺长18厘米、宽12厘米的长方形，出现正好铺满和不正好铺满两种情况。研究铺满和不铺满的原因，是认识公因数的现实素材。例11用长3厘米、宽2厘米的长方形分别铺边长6厘米和8厘米的正方形，也出现正好铺满和不能铺满两种情况，是认识公倍数的现实素材。

选择铺图形活动引出新的数学概念，是因为这个活动比较现实，也比较有趣，能吸引学生从中发现问题、提出问题，进而研究问题。他们按例题的安排，一定会铺出两种不同的结果，因此能够提出“为什么有时正好铺满、有时不能”“什么时候能够铺满、什么时候不能”这些有价值的问题。研究这些问题，就联系实际体会了公因数和公倍数的含义，为形成新的数学概念积累了感性认识。

教学这两道例题，要注意教材里的几点安排：

第一，让学生开展铺图形的活动，得到正好铺满和不能铺满两种结果。或是课前准备需要的图形，课上铺一下；或者在教科书的图形上画一画，感受铺的活动。

第二，从数学角度、用数学知识解释铺满与不铺满的原因。例9里的“萝卜”卡通用两个没有余数的除法算式说明正好铺满的原因，“番茄”卡通用有余数除法算式说明不能铺满的理由。当铺图形的结果用除法解释时，就可能与因数和倍数知识建立联系了。

第三，继续联想还有哪些边长是整厘米的正方形，也能铺满长18厘米、宽12厘米的长方形；长3厘米、宽2厘米的长方形还能铺满边长多少厘米的正方形。这些联想基于已经进行过的操作，有利于丰富对公因数与公倍数的感性认识。例9与例11里“辣椒”卡通和“蘑菇”卡通的交流，是两个层次的思考。前者形象的成分多些，一边说、一边想铺图形的状况。后者理性一点，用因数或倍数知识作出比较概括的描述。多数学生会先形象思考，后理性思考，而且理性思考需要教师的点拨和扶持。

关于公因数与公倍数的意义，和因数与倍数一样，教材没有给出定义，只是结合实例作出描述。理解概念要正确认识它的内涵、把握它的外延。所谓概念的内涵，是指概念反映的一切对象的共同的本质属性。公因数是几个数公有的因数，公倍数是几个数公有的倍数。可见，“几个数公有的”是公因数与公倍数这两个概念的本质属性。在因数与倍数的基础上建立公因数、公倍数的概念，教材利用“既是……又是……”这样的句式，凸显“公有”的含义，突出了概念的内涵。所谓概念的外延，是指概念包括的一切对象。对具体事例是否属于概念作出判断，就是识别概念的外延。作出的判断，有时是肯定，即具体对象是概念的一个实例；有时会否定，即具体对象不属于概念的范围。

例9在揭示12和18的公因数概念以后，提出“4是12和18的公因数吗？”例11在揭示2和3的公倍数概念以后，提出“8是2和3的公倍数吗？”都是利用反例进一步加强概念。学生在“是……不是……”的情境里，可以加强对概念的认识。

2. 运用数学概念，探索找两个数的公因数与公倍数的方法。

本单元只教学两个数的公因数、最大公因数，两个数的公倍数、最小公倍数。这些都是最基础的知识与技能，约分或通分时会经常应用。不把短除法求两个数的最大公因数、最小公倍数作为基本内容与要求，有两点原因：一是求两个一位数或较小的两位数的最大公因数、最小公倍数，一般利用口算就能解决，不需要短除法。二是通过写出两个数的因数或倍数，找出两个数的最大公因数、最小公倍数，不仅有可操作性，而且应用了数学概念，有加强概念的作用。

例10求两个数的公因数与最大公因数。教学起点是学生会求一个数的全部因数，已经建立了公因数的概念。教学的基本线索是：先分别列出两个数的所有因数，再找出两个数的全部公因数，然后确定两个数的最大公因数。

根据公因数的概念求8和12的公因数，一般会有两条思路：一条像“辣椒”卡通那样“既是8的因数，又是12的因数，才是8和12的公因数”。于是分别写出8和12的因数，找出其中的公因数。另一条像“蘑菇”卡通那样“如果8的因数也是12的因数，那么就是8和12的公因数”。于是写出8的因数，从中找出12的因数，得到8和12的公因数。两条思路在本质上是一致的，都从公因数概念出发，思考“什么样的数是8和12的公因数”，通过推理找到公因数。两种方法不同在于，前一种需要较多的记录，必须把8的因数、12的因数都写出来，才能找出公因数；后一种可以逐个地想8的因数，同时看是不是12的因数，如果是8和12的公因数就写下来，如果不是8和12的公因数就随时排除。显然后一种方法稍快些，比较适合通分的需要。当然把后一种思路改成先找出12的因数，再从中找8的因数也可以。

最大公因数是从公因数派生出来的概念。两个数的公因数里最大的一个，是这两个数的最大公因数。教材没有给出最大公因数的定义，而是联系8和12的公因数1、2、4，指出其中最大的4，是8和12的最大公因数。

集合图能直观形象地显示公因数、最大公因数的含义。例10把8的因数与12的因数分别写到两个集合圈里，两个集合圈有一部分数相同。如果把两个集合圈重叠起来，重叠部分写的数既是8的因数，又是12的因数，即是8和12的公因数，由此可以直观地表现出两个数公因数的含义。应该让学生仔细观察集合图，看清它的结构，看懂它的填法，体会公共部分表示的意思，并适当进行填写集合图的练习，加强数学概念的教学。

练习七第1~8题配合例9与例10编排。第1题把公因数、最大公因数的概念与找公因数、最大公因数的方法结合起来，要求先分别写出两个数的全部因数，再找出两个数的公因数和最大公因数。第4、5、6题都是求两个数的最大公因数，其中第4题要引导学生采用“从较小数的因数里寻找公因数”的方法，因为这道题的各组数中，两个数既不是因数与倍数关系，也不是互质数，是求公因数的一般情况，对以后的分数加、减计算有很大影响。

第5题左边四组数中，每组的大数与小数都有倍数、因数关系；右边四组数中，每组的两个数都只有公因数1。可以先利用求两个数公因数的一般方法得出最大公因数，分别发现“较小数是最大公因数”“最大公因数是1”这些规律。以后遇到类似的情况（如第6题），就能利用规律直接找到两个数的最大公因数。第7题说出分数的分子和分母的最大公因数，是第6题的变式，本质上仍然是求两个数的最大公因数，却渗透了约分的思想方法。第8题把一张长15厘米、宽9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形，利用公因数和最大公因数的知识解决实际问题。教材希望学生通过画示意图，体会这样的问题与公因数有关，并采用求两个数的公因数的方法来解题。

例11与例12教学两个数的公倍数的概念以及求两个数的公倍数与最小公倍数的方法，安排的教学线索、教学活动，以及练习题，都和公因数、最大公因数的教学相似。学习公因数的经验如果用到学习公倍数上，学生的主动性和能动性都会有很好的发挥，教学效率和效果都会更加好些。

需要再次说明的是本单元编排了少量与两个数的公因数、公倍数有关的实际问题。除了上面已经提及的练习七第8题，还有练习七第14题，整理与练习第11、12题等。这些题确实在应用最大公因数、最小公倍数的知识，然而，更重要的是在现实情境里体验公因数、公倍数的意义，加强对这些概念的理解。为此，教材分别在这些题里提供了列举的表格、可供操作的直条或月历，帮助学生发现实际问题里有公因数、公倍数的内容，体会解决相关实际问题就是求两个数的最大公因数或最小公倍数。像这样既解决了实际问题，又加强了对公因数、公倍数的认识，正是教材所希望的。