新定义“融合点”，动圆位置要明晰

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新定义“融合点”，动圆位置要明晰

在人教版九年级数学上册第24章《圆》中，我们学习了点和圆、直线和圆的位置关系，在103页实验与探究中探索了圆与圆的位置关系，而决定位置关系的元素有圆心距和半径。

在探索与圆有关的位置关系时，通常情况下圆是题目给出的，然而在许多压轴题中，圆却需要构造，在构造圆时，需要从它的定义出发，即确定圆心和半径，如果是动圆，更要弄明白是圆心在运动或是半径在变化，明确了这些条件，解题时会更更容易些。

题目

在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点.

(1)已知A(3,0)，B(5,0)

①在点P1(6,0)，P2(1,-2)，P3(3,2)中，线段AB的融合点是__________；

②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；

(2)已知圆O的半径为4，A(a,0)，B(a+1,0)，直线l过点T(0,-1)，记线段AB关于l的对称线段为A’B’，若对于实数a，存在直线l，使得圆O上有A’B’的融合点，直接写出a的取值范围.

解析：

(1)首先根据条件作图，理解了融合点的概念，再去完成第1小题，第一次作图如下：

对于点P位置，还可能有更多情况，同时垂直平分线DE和CF与直线AB的交点并不一定都在线段AB上，如下图：

根据新定义的表述，除了最后一个图，其余情况均满足点P为线段AB的融合点.

由线段垂直平分线的性质，它到线段两端距离相等，于是对于DE来讲，点E到点A和点P距离相等，点E在线段AB上，所以当点E与点B重合时，AE=PE最长，即PE≤AB，同理可得PF≤AB，PE≤AB的几何意义是点P在以点A为圆心，AB为半径的圆周上或圆内部，同样PF≤AB的几何意义是点P在以点B为圆心，AB为半径的圆周上或圆内部，如下图：

在以上理解的基础上，第1小题就相对容易了

①现在A(3,0)，B(5,0)，分别以A，B为圆心，作半径为2的两个圆，判断点P1，P2，P3是否在这个区域内或边界上，如下图：

所以结果是P1和P3；

②直线y=t平行于x轴，因为圆A和圆B半径均为2，所以很容易得到当t=2时，直线是两圆上方的公切线，当t=-2时，直线是两圆下方的公切线，如下图：

所以结果是-2≤t≤2；

(2)本小题条件中新增了圆O，这是定圆，圆心在原点，半径为4，点A和点B是x轴上相距为1个单位的两个点，参数a控制它们在x轴上平移，所有的运动皆源自于此，所以我们首先研究它们的运动，如下图：

我们只列举了部分图例，实际上关于点A和点B位置，完整的分类应该包括：

a≥4，A，B均在圆O外部右侧；

3≤a＜4，A在圆O内，B在圆O外右侧；

-4≤a＜3，A，B均在圆O内；

-3≤a＜-4，A在圆O外左侧，B在圆O内；

a≤-4，A，B均在圆O外左侧；

由轴对称性质可知，TA=TA’，TB=TB’，而T(0,-1)是y轴上定点，所以点A’一定在以T为圆心，TA为半径的圆上(以下简称T-A圆)，同理点B’在以T为圆心，TB为半径的圆上(以下简称T-B圆)，且当a>-1/2时，TA<TB；a<-1/2时，TA>TB，a=-1/2时，TA=TB；

此处注意直线l的作用，它经过定点T，随着它斜率的改变，A’和B’的位置也随之改变，但无论怎么变化，要保持TA=TA’，TB=TB’，所以我们判断点A’一定在T-A圆上，点B’一定在T-B圆上，并且直线l的斜率并不重要，它的作用是让点A’的轨迹出现在圆上，这是后面思考动圆的基础之一，如下图：

虚线圆为T-A圆，点线圆为T-B圆，可以看出它们的圆O的位置关系有内切、相交、内含三种，并且y轴为它们的圆心连线，因此若要在T-A圆和T-B圆上去寻找与圆O上点的距离最值，一定是当A’和B’在y轴上时，所以我们在后面分类讨论时，取点A、B关于直线l的对称点A’、B’在y轴上的情况分析；

由于融合点所在区域是由圆A’和圆B’及其公共部分组成，因此这个区域只要和圆O有公共点，即存在直线l，使圆O上有A’B’的融合点，所以我们要思考融合点区域构架中的两个圆，圆A’和圆B’，何时与圆O有公共点，这就要结合前面所讨论的点A’和点B’与圆O的位置关系了，我们从特殊位置考虑，如下图：

第一种情况，当圆A’与圆O外切时，由于T-A圆内含圆O，所以两圆上的点最近处，是当A’在y轴正半轴时，此时圆A’半径为1，圆O半径为4，所以圆心距OA’=5，所以可求出TA’=6，即TA=6，于是在Rt△OAT中，我们可求出OA=√35，即a=√35，继续让线段AB向左平移，如下图：

第二种情况，当圆B’也完全进入到圆O内，此时T-B圆内含于圆O，所以两圆上的点最近处，是当B’在y轴负半轴且圆B’与圆O内切时，圆心距OB’=3，所以TB’=2，即TB=2，于是在Rt△OBT中，我们可求出OB=√3，此时a=√3-1，继续让线段AB向左平移，如下图：

第三种情况，此时T-A圆内含于圆O，所以两圆上的点最近处，是当A’在y轴负半轴且圆A’与圆O内切时，圆心距OA’=3，所以TA’=TA=2，在Rt△OAT中，可求出OA=√3，此时a=-√3，继续让线段AB向左平移，如下图：

第四种情况，此时T-B圆内含圆O，所以两圆上的点最近处，是当B’在y轴正半轴且圆B’与圆O外切时，圆心距OB’=5，所以TB’=TB=6，在Rt△OBT中，可求出OB=√35，此时a=-1-√35；

分别由以上四种情况，我们可以得出当√3-1≤a≤√35时，融合点区域从圆O外部接触到圆O并进入圆O，直到全部位于圆O内部并脱离接触；当-√35-1≤a≤-√3时，融合点区域从圆O内部接触到圆O并移出圆O，直到全部位于圆O外部并脱离接触；

综上，所求范围为√3-1≤a≤√35，-√35-1≤a≤-√3.

解题反思：

本题有许多圆，最后一小题的讨论也与圆的位置有关，所以弄清这些圆的来源非常重要，首先是关于直线l的对称点A’和B’,直线l经过定点T(0,-1)，经过一定点的直线有无数条，而由对称性可知，A’与A到T的距离始终相等，每当点A在某个位置时，A’的轨迹即为一个圆(T-A圆)，同理点B’也是；而融合点的定义中，由垂直平分线的性质可知，要想让交点在线段AB上，点P也位于以A和B为圆心的圆及其内部，并且T-A圆和T-B圆的圆心和圆心O都在y轴上，因此存在“近圆点”和“远圆点”，这也是我们为什么在讨论中要分四种情况，毕竟内切和外切，代表不同位置。

影响圆位置和大小的因素有两个，圆心和半径，虽然只有两个因素，但圆的数量较多，再加上最值问题的讨论，所以情况较为复杂，思考本题时，多画图是非常有必要的，最为理想的情况是在头脑中作图，这就对学生的几何直观提出了很高要求。

如果要用一句话来总结最后一小题的运动状态，可用“区域穿圆过”来形容，所以圆A’和圆B’，哪个和圆O先接触，何时脱离接触，就非常重要了，这也是分类讨论的依据。

这些解题时的思路，需要在平时学习圆的相关知识时加以渗透，归根到底，要从圆的定义以及点和圆、圆和圆的位置关系入手，所有解法的根都源自于此，问题在于，我们的教学中有没有涉及到它们？

和圆有关的最值问题，也包括求范围问题，需要我们对这一章节的内容有更深刻的理解，原题图中并没有圆，需要学生作图，在哪作？怎么作？这两个问题，在学生拿起圆规之前，心里要有数，而要做到心中有数，最终仍然要回归到我们的数学概念教学中来。

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