过直线外一点可做几条平行线？欧氏、罗氏、黎曼几何的区别和应用

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前言：这次不写物理，换成数学。数学和物理虽同属于逻辑思维，但是数学更加抽象，包括笔者在内的多数物理爱好者最怵的的就是数学，尤其是微积分，这大概就是网上“伪民科”一词的由来。

数学中的几何包括三大类：欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何，其中罗氏几何和黎曼几何统称为非欧几何。

欧氏几何就是欧几里得几何，是我们中学阶段学习的知识，用我们最熟悉三维空间和四维时空即可表示。

欧几里得（公元前330～公元前275），古希腊伟大的数学家

我们首先回忆一下欧氏几何的五大公理是：

1. 任意两个点可以通过一条直线连接；

2. 任意线段能无限延伸成一条直线；

3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆；

4. 所有直角都相等；

欧氏几何第五公理

5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

欧几里得的《几何原本》，沿用了两千年的巨著

这些公理是欧几里得在《几何原本》中提出的，并以此为基础构建了几何学体系。《几何原本》共分为13卷，内容涉及平面几何和立体几何的各个方面，包括内容：点、线、面、角度等基本概念和关系；圆的定义、切线、割线、弦、内接和外接等概念及其性质；相似三角形和多边形的性质；等差数列和等比数列；一次方程和二次方程的求解；球、圆柱、圆锥等立体图形的表面积和体积的求解以及分割……这些知识我们在初中和高中都学习过，内容包罗万象，此处无法一一详细介绍。

《几何原本》作为历史上最伟大的几何学著作，一直沿用至今，对我们产生了深远的影响。后来在此基础上发展了四种坐标系：

笛卡尔坐标系

1-直角坐标系，即笛卡尔坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，通过X和Y坐标值即可确定一个点的位置，也可以用X、Y、Z轴组成空间坐标系。

极坐标系

2-平面极坐标系：极坐标，是用于平面中定位点的系统，它以一个固定点O（原点）和一条从原点发出的射线（通常是正x轴）作为参考。坐标用（r，θ）表示，其中r是原点到任意点P的距离，θ是线段OP与轴线之间的夹角。笛卡尔坐标（x，y）和极坐标（r，θ）之间存在一个简单的关系，即：

x=rcosθ和y=rsinθ。

圆柱坐标系

3-圆柱坐标系：圆柱坐标系是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 z-轴的延伸。添加的第三个坐标专门用来表示 P 点离 xy-平面的高低。径向距离、方位角、高度，分别标记为ρ，φ，z。

球坐标系

4-球坐标系：球面坐标系是表示三维空间中某一点的另一种方式。它也要求三个数值，其中两个是角度，第三个是距离。与笛卡尔坐标系换算关系为X=rsinφcosθ，

Y=rsinφsinθ，Z=rcosφ。

希尔伯特（1862～1943），德国数学大师，被称为数学界的“无冕之王”

从上可以看出，极坐标、圆柱坐标、球坐标都是可以转化为笛卡尔坐标的，多个维度坐标可以构成空间。而数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做n维欧几里德空间（可以简称n维空间）或有限维实内积空间，或称为希尔伯特空间。

罗巴切夫斯基（1792～1856），俄罗斯数学大师

罗氏几何就是罗巴切夫斯基几何，也称双曲几何，是一种独立于欧氏几何的公理系统，双曲面立体图形类似马鞍的形状。

罗氏几何的空间曲面是双曲面，像马鞍形

双曲面的方程通常采用下列形式：

Ax² + By² – Cz² = D

其中，A、B、C、D是常数。当A、B、C中至少有两个正号时，该方程描述的曲面是一类双曲面。如果A、B、C中都是正号，称为双叶双曲面；如果A、B、C中只有一个正号，称为单叶双曲面；如果A、B、C中全是负号，称为超双曲面。双曲面具有一些独特的性质，如其具有两个相互独立的拱形。

标准双曲线，两条渐进直线构成光锥

如果将双曲面投影到XY平面，则得到我们中学时学过的标准双曲线：

x²/a² – y²/b²= 1 (a＞0，b＞0)

黎曼（1826～1866），德国伟大的数学家

黎曼几何是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”，黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面，黎曼空间本质上是弯曲的。

黎曼几何的空间曲面是椭圆球面

黎曼几何发展了空间的概念，黎曼提出了n维流形概念，他认为几何学中的研究对象为“多重广延量”，空间中的点可以用n个实数（x1, x2, …, xn）作为坐标进行表示。黎曼几何是一种研究曲线、曲面与曲率的几何学。在黎曼几何中，最重要的是曲率的计算。曲率是描述曲线、曲面的弯曲程度的量。在二维曲面上，曲率可以通过计算曲线的切向量和法向量之间的夹角来得到。对于一个给定的曲线，其曲率可以通过以下公式计算：

K(s) = |dT/ds| / |ds/ds|

其中，K(s)表示曲线在参数s处的曲率，dT/ds表示曲线的切向量沿s方向的导数，ds/ds表示曲线的弧长在s方向的导数。

黎曼几何中点x的曲率向量u和切面TxM

对于三维曲面，曲率的计算可以通过计算曲面上两个相互垂直的方向上的曲率来得到曲面的曲率。具体而言，曲面的主曲率可以通过以下公式计算：

k1 = (E * G – F^2) / (E + G ± √((E – G)^2 + 4F^2))

k2 = (E * G – F^2) / (E + G ∓ √((E – G)^2 + 4F^2))

其中，E、F、G分别是曲面的第一、第二、第三基本形式的系数。k1和k2分别表示曲面的两个主曲率。

黎曼度规张量计算公式：

g_μν = ∂x^α/∂x^μ * ∂x^β/∂x^ν * g_αβ

克氏符号计算公式：

Γ_μν^α = (1/2) * g^αβ * ( ∂g_βν/∂x^μ + ∂g_βμ/∂x^ν – ∂g_μν/∂x^β )

黎曼曲率张量计算公式：

R_μνλ^α = ∂Γ_μν^α/∂x^λ – ∂Γ_μλ^α/∂x^ν + Γ_ρν^α * Γ_μλ^ρ – Γ_ρλ^α * Γ_μν^ρ

这些公式用于计算黎曼几何中的度量张量、克氏符号和曲率张量，以研究曲面的内禀几何性质和曲率。这些公式是黎曼几何的基础，用于描述非欧几何空间和广义相对论中的时空弯曲。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何我们已经做了初步的介绍，下面我们将介绍三种几何学的区别：

三种几何的曲率对比

1-欧氏几何是曲率恒等于零的平面几何，罗氏几何是曲率为负常数的曲面几何，黎曼几何是曲率为正常数的曲面几何。图中可以看出以上三种几何空间分别为平面、凹面、凸面。

黎曼曲率等于1、-1和0的空间分别是黎曼球空间、罗巴切夫斯基空间和欧氏空间，欧氏空间可看作黎曼空间的特例。

2-过直线外一点，可以做几条直线与该直线平行？欧氏几何认为是一条，罗氏几何认为是至少两条甚至无数条，黎曼几何认为是没有。

欧式几何第五公设认为，过直线外一点做一条直线，有且只有一条直线与该直线平行，这是我们认知范围之内的。

罗氏几何认为直线外一点，有无数条直线与已知直线平行

罗氏几何认为可以做无数条直线与已知直线平行，罗氏平面几何的平行直线和欧氏平面几何的平行直线的定义是不相同的，在罗氏平面几何中，所谓已知直线的平行直线，只是与已知直线不相交的所有直线中的特殊直线。在罗氏平面上，若AP∥BC ，则称直线AP沿 BC方向(或AP 方向)平行于直线BC，记为AP∥BC于方向BC (或AP )。当方向一致时，直线间的平行具有对称性和传递性。在罗氏平面上，过直线CC′外一点A，有且只有两条直线AP和AQ分别于不同的方向平行于CC′，在罗氏平面上，任何两对平行线可以互相叠合，且二平行线在平行方向上无限接近，而在反方向无限远离。

黎曼几何认为直线外一点做的任何直线，都会与已知直线相交，就是否认平行线存在

黎曼球面几何平行公理认为，过直线（大圆即“直线”）外一点，没有平行线。地球上的经线是球面上的直线，而任意两条经线按照定义都是平行直线，但是这些平行直线都是相交的，它们在南北两极相交。你在球面上是做不出不相交的平行线的。

三角形内角和：黎曼几何认为大于180度，欧氏几何认为等于180度，罗氏几何认为小于180度

3-三种几何的三角形内角和不同。黎曼几何欧氏几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在平面里画出的三角形三条边都是直的，两点之间的距离也是直的。

但是假如我们生活的空间是一个双曲面，我们可以把双曲面它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。

若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。

三种几何求两点间的距离，图中一个个无限小的网格代表着微分

4-对于空间上两点之间的距离定义不同，只有欧氏几何计算的是最短直线距离。在欧几里得几何中，曲面上两个相邻点之间的距离，由以下形式公式得其距离为ds²=Adx²+Bdxdy+Cdy²

其中A、B和C取决于x和y，可以根据A、B和C本质上确定一点的曲率。

罗氏几何计算两点间的距离是双曲表面上的曲线距离：

u、v、vˉ是双曲面空间中的点

黎曼几何计算两点间的距离是伪球表面的曲线距离：

式中系数g ij (x ) 是对称协变张量场（度规张量）的分量，dx和idxj为曲率二阶张量

5-这三种几何的数学基础原理不相同。黎曼几何作为非欧几何的一种, 它与罗氏几何相比, 有着实质性的不同。罗氏几何主要工作是建立了一整套区别于欧几里得的《几何原本》的逻辑体系; 而黎曼几何的核心问题是以微分几何为基础, 建立曲线坐标系中的微分方法。

罗氏几何与欧氏几何理论上存在根本的差别

罗氏几何学的公理系统区别于欧式几何学之处, 仅仅是把欧式几何平行公理改为: 从直线外一点, 至少可以做两条直线和这条直线平行。

黎曼几何与罗氏几何的平行公理相反: 过直线外一点, 不能做直线和已知直线平行。也就是说, 黎曼几何规定: 在同一平面内任何两条直线都有公共点, 黎曼几何学不承认存在平行线。很自然就有另一条公设: 直线可以无限延长, 但长度是有限的, 这可以类比为一个球面。

黎曼几何是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。黎曼几何对曲率没有限制，包括了各种曲率可变的空间。黎曼几何中给定黎曼度量，就可以讨论“测地线”，大意是球形上连接两点的最短的曲线。

三种几何中黎曼球体几何最为复杂，是以微分和张量为基础建立的

对欧式几何来说，两点间直线段最短，因此测地线就是直线。

对球面几何来说，两点间的最短曲线是大圆的弧, 因此测地线是大圆（即所在平面过球心的圆）。所以在球面几何中，纬线并不是“直线”。任意两个大圆都会相交于一对对径点，因此不存在平行线。球面几何其实不成立“两点决定一条直线”的定理，所以球面几何其实并不是椭圆几何，不过在进行某种技术处理之后可以使其成立。黎曼几何中的测地线的每个“小段”都是连接两点的最短线。可以参考欧式几何（其实也是黎曼几何的特例）中的直线。当然直线不仅“小段”是最短的， 而且是其上任意两点间的最短线。在球面几何中， 大圆的劣弧是最短线，优弧不是， 所以要加上“小段”的限制。

6-三种几何在应用科学中的应用范围是不同的。

欧氏几何适应范围最为广泛，我们也最为熟悉

在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的。比如牛顿经典力学三大公式、薛定谔方程、麦克斯韦方程组、狭义相对论、弦理论等，都是用欧式几何空间来建立数学模型的，这也是我们最常用和最熟悉的。

罗氏几何可以用于描述宇宙中的量子世界

量子力学中，罗巴切夫斯基的双曲几何学模型可以用于描述粒子在双曲线空间中的运动。具体来说，量子力学中的自旋空间可以被看作是一个双曲线空间，而波函数则是这个空间中的向量。根据罗巴切夫斯基的模型，这个自旋空间可以被看作是一个双曲线空间。在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际，比如量子力学的迪拉克方程、量子电动力学、量子统一场论等，都是以罗氏几何来建立数学模型的。除此之外，机器人学、图形设计、芯片制造等行业也要用到罗氏几何。

黎曼几何可以用于描述宇宙时空和天体的运动

在地球表面研究航海、航空航天、宇宙研究等实际问题中，黎曼几何更准确一些。黎曼几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平面。

黎曼统一了黎氏几何，罗氏几何，欧氏几何，并且预见物质的存在可能造成空间的弯曲，为爱因斯坦的广义相对论准备了数学基础。广义相对论认为，地球并不是受引力牵引而保持惯性运动，而是由于太阳的质量使空间弯曲，地球的弯曲轨道根本就是惯性运动轨道，是弯曲时空中的短程线（相当于平直时空的直线），弯曲的空间就是把最短线定义为直线。那么我们可以说，广义相对论、黑洞理论、虫洞理论、宇宙大爆炸理论等，都是以黎曼几何来建立数学模型的。

三种几何模型从左至右分别是罗氏、欧氏、黎曼

以上就是欧式、罗氏、黎曼几何的全部区别。简单的说就是，欧式几何表示的是平直时空，罗氏几何和黎曼几何表示的是曲面即弯曲的时空（有的文献称之为流体面），欧氏几何是罗氏几何和黎曼几何的特定条件下的近似空间。欧式几何可用于我们身边的宏观事物及运动，罗氏几何多用于微观量子世界，黎曼几何多用于宇宙中的大质量天体。

左为德国数学家—闵可夫斯基，爱因斯坦大学时的老师。右为德国伟大的数学家、物理学家和天文学家—高斯。

至于高斯坐标系和闵可夫斯基坐标系，可以分别认为是黎曼几何和欧氏几何的延伸和过渡理论，本文将不再单独将其列出。说句题外话，本文只列举了六位数学家，居然有四位是德国人，我们不得不承认，德意志民族是一个优秀的民族 。

本文是数学文章，之所以以其物理应用的内容来结尾，原因很简单，数学作为一种最重要的工具，是来为其它自然学科服务的，没有实际应用意义的数学理论是不完美的，或者说是没有意义的。

后记：我有时在想一个问题，数学和物理是相通的，那么它们是否和艺术也是相通的呢？老爱在相对论中描述天体弯曲了时空，梵高在作品中用画笔扭曲了星空，虽然一个是论述宇宙自然，一个是表达人的内心世界，但是二者可能是相通的。心有多大，宇宙即有多大？还是宇宙本来就在我们的心中？

爱因斯坦以黎曼几何为数学模型建立了广义相对论，描述了弯曲的宇宙时空

梵高笔下扭曲的星空，作者想表达是社会现实的扭曲，还是人性的扭曲？