线性空间中的降维指什么

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在数学中，向量指具有大小和方向的量，它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向，线段长度：代表向量的大小。

比如，二维空间中的一个点，将其与原点连接起来，并规定方向由原点指向这个点，那这个线段就是一个向量。

线性空间因为必须有一个原点，所以任何一个有序数对都可以认为构成了一个向量：由原点连接起这个点。

图1

在上图的定义中，大概可以这样理解维度的概念：

比如，二维坐标系中，任何一个点a可以写成：

a=a1x+a2y

那么，表达式a=a1x+a2y中的维度x和y似乎可以认为它是1，因为1乘任何数还是任何数。或者，也可以认为，维度x和y好像一个容器，可以把所有的二维有序数对（m,n）包括在这个二维空间里面。

上图中的三维空间，按照图1中的n维空间定义：

a=a1x+a2y+a3z

如果x,y,z这三个维度都存在的话，那这个表达式中的a1,a2,a3都可以自由变化且可以被保存下来，也就是自由度等于3。

如果假设z这个维度变成0，也就是不存在了，那么这个三维空间就变成了二维：

a=a1x+a2y+a3z

这里要注意的是，a3=0与z=0的意思是不一样的：

a3=0表示的是三维空间中的某一个点的z坐标是0，也就是这个三维空间中除了（1，2，0）这样的点，还包含（1，2，3）这样的点。而z=0则表示这个维度直接没有了，就只有（1，2）（2，3）这样的点了。

同样，如果y和z同时等于0，那就变成一维空间。

如果x,y,z同时等于0，那就变成0维空间，也就是一个点：原点。

按照图1中线性空间定义：

a=a1α1+a2α2+a3α3+……anαn

这里的αi是一个向量，而且它们必须是线性无关，从而构成这个空间的基。如果其中某个基向量αi变成了0向量，则这个向量组就变成线性相关，那只有通过去除这个0向量才可能重新变成线性无关，也就是降维。

由上式也可以看到，ai=0与αi=0不是一回事。