蒙特卡罗模拟、实物期权分析、随机预测和投资组合优化(下)

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接上期：【风险模拟专栏】精算师、保险公司和银行的快速风险入门—蒙特卡罗模拟、实物期权分析、随机预测和投资组合优化的示例应用(上)

应用：经济序列建模

2001年5月，伤亡精算师协会和精算师协会联合发出请求，要求在与利率情景（例如利率、通货膨胀、失业、房地产价格等）相关的经济序列建模和预测领域进行研究。这一研究领域非常关键，并被证明对精算专业具有重大价值和重要性。这些条件提供了保险公司运营决策的各种情况，并评估了其对公司价值的潜在影响。如图4所示，随机预测方法与依赖和自相关蒙特卡罗模拟过程相结合，可用于测试多个场景中的现金流（用于资产负债匹配目的），评估保险公司的现金状况、流动性水平、偿付能力测试、资本结构、发展再保险结构等。幸运的是，风险模拟器有一个随机预测模块，可以快速轻松地生成这些预测。

利率（名义利率和实际利率）可以使用具有均值回归趋势的Ornstein-Uhlenbeck和Vasicek期限结构模型过程进行建模。以下描述了具有漂移的均值回归过程的数学结构：

为了获得回归率和长期利率，使用历史数据点，运行回归，使

我们发现

和

。

我们定义

作为回归平均值的速率

作为过程恢复到的长期价值

作为历史数据系列

作为回归分析中的截距系数

作为回归分析中的斜率系数

其他时间序列过程，如跳跃扩散，可用于对其他经济时间序列和价格数据（如石油或电力价格）进行建模。跳跃扩散过程类似于随机行走过程，但在任何时间点都有跳跃的可能性。这种跳跃的发生是完全随机的，但其概率和幅度由过程本身决定。

用于跳跃扩散过程。

我们定义

θ为S的跳跃大小

F(λ) 为泊松累积概率分布的倒数

λ为S的跳跃率

理论：投资组合优化

在大多数决策中，都有一些变量是你可以控制的，比如产品收费多少，项目投资多少，或者当你受到预算或资源的限制时，你应该在投资组合中选择哪些项目。这些受控变量称为决策变量。找到决策变量的最优值可以决定达到一个重要目标和错过该目标之间的区别。这些决策还可能包括分配财政资源、建设或扩大设施、管理库存以及确定产品组合策略。这样的决定可能涉及数千或数百万潜在的替代方案。考虑和评估每一项都是不切实际的，甚至是不可能的。优化模型可以在分析决策时结合相关变量，并找到决策的最佳解决方案，从而提供有价值的帮助。优化模型往往提供了仅靠直觉无法提供的见解。优化模型有三个主要元素：决策变量、约束和目标。简言之，优化方法以各种可能的方式找到决策变量（例如，执行哪些项目）的最佳组合或排列，从而使目标最大化（例如，战略价值、收入和投资回报）或最小化（例如，风险和成本），同时仍然满足约束（例如，时间、预算和资源）。

获得最佳值通常需要以迭代或特别的方式进行搜索。此搜索包括对初始值集运行一次迭代，分析结果，更改一个或多个值，重新运行模型，并重复此过程，直到找到满意的解决方案。即使对于小型模型来说，这个过程也可能非常乏味和耗时，而且通常不清楚如何从一次迭代调整到下一次迭代。一个更严格的方法系统地列举了所有可能的替代方案。如果模型被正确指定，这种方法可以保证最优解。假设一个优化模型只依赖于两个决策变量。如果每个变量有10个可能的值，尝试每个组合需要100次迭代（102个备选方案）。如果每次迭代都很短（例如，2秒），那么整个过程可以在大约三分钟的计算机时间内完成。然而，不要考虑两个决策变量，而是考虑六个，然后考虑尝试所有组合需要次迭代（106个备选方案）。完整的枚举很容易花很多年的时间来完成。因此，到目前为止，优化一直是一种幻想，有了复杂的软件和计算能力，再加上智能启发式和算法，这样的分析可以在几分钟内完成。

图5至图7展示了一个样本投资组合分析，在第一种情况下，共有20个项目可供选择（如果所有项目都被执行，将花费102亿美元），每个项目都有自己的投资回报率或收益衡量标准、成本、战略排名、综合，战术和战略总分（这些分数是通过德尔菲法从经理和高管那里获得的，以引出他们对特定项目或倡议的战略程度的想法，等等）。限制因素是全职等效资源、预算和战略得分。换言之，有20个项目或倡议可供选择，我们希望从中选出前10个，前提是有足够的资金支付这些项目或倡议，有足够的人来做这项工作，并且尽可能成为最具战略意义的投资组合。一直以来，蒙特卡罗模拟，实物期权，并将预测方法应用于优化模型（例如，图5中所示的每个项目的值都与应用了模拟和预测方法的自己的大型模型相关联，并且使用实物期权分析来选择每个项目的最佳策略，或者所示的项目可能嵌套在一起，例如，除非执行项目1，否则您无法执行项目2，但您只能在没有想做项目2等等）。结果如图5所示。图6显示了一系列优化过程，同时放松了一些约束。例如，如果实施38亿美元的预算，最佳投资组合和战略结果是什么？如果它增加到48亿美元、58亿美元，以此类推，会怎么样？图6所示的有效边界说明了最佳投资组合中项目的最佳组合和排列。边界上的每一点都是各种项目组合的组合，在给定需求和约束的情况下，这些组合提供了可能的最佳分配。最后，图7显示了所选择的前10个项目，以及总预算如何得到最佳和最优化的分配，以提供最佳和最平衡的投资组合。

应用：跨多个业务线分配所需资本

尤其是保险公司，有各种方法来确定不同业务和风险所需的资本组合和分配。例如，NAIC RBC（全国保险专员协会基于风险的资本）方法建议将不同业务线的风险分为四大类（资产风险、保险风险、利率风险和一般业务风险，可能会出现更大的子公司分离）。他们的模型是一个静态的权重分配，以获得保险公司资本结构的有效配置。具体而言，我们对资产（γ）、保险风险（ε）、健康保险和信贷风险（δ）以及利率风险（β）等权益权重进行了分配，其中每个权重（w）定义为

，其中

。这里，α是非股权资产风险，φ是健康保险管理费用风险。α和β之间的交叉项解释了模型中的一些关系，但通常情况下，无论输入的风险或不确定性如何，都是一个具有预定义结果的确定性模型，并使用均方差偏微分方法求解。Ω只是组织中风险要素的平方和，分配权重是每个组成部分的风险水平，占总平方和的百分比。相比之下，图7显示了一个更具动态性的模型，其中资本分配可以通过分析来确定。此外，图7中的每个输入，即回报和风险水平，都是随机的和模拟的。因此，可以运行基于将分布拟合到历史数据的蒙特卡罗模拟来对每条业务线的风险和回报进行建模，然后可以应用优化来确定跨这些多条业务线的有效资本分配。通过这种方式，可以考虑交叉相关性、非线性关系、风险和回报的不同统计分布、同类分解以及任何其他分析因素。其结果是资本的最佳和最有效配置。

应用：偿付能力要求和尾部风险值

另一个应用是使用风险尾部VaR（风险价值）扩展在多个业务线之间分配偿付能力资本。在全球范围内，国际会计准则委员会、国际保险监督协会、国际精算师协会、巴塞尔委员会和国际清算银行一直在制定资本要求标准。他们通常采用尾部VaR概念，比如说，99.95%的信心表明企业在技术上不会破产。潜在损失的概率分布是相互依赖的，相互关联可能会产生多样化效应。在这里，使用简单正态分布或对数正态假设来简化所涉及的数学是不明智的，因为以这种方式进行的简化只能用作基准，并且不稳健。相反，具有曲线拟合和相关矩阵的历史模拟可以与投资组合优化一起应用于蒙特卡洛模拟。图8显示了在10条业务线的均匀分布投资组合中进行的相关模拟的结果。天真的尾部风险价值超额资本要求为3701万美元。然而，在考虑了平均所需资本的相对不确定性和每条业务线的交叉相关性对冲效应后，在VaR 99.95百分位数下，所需资本现在只有1368万美元，这表明通过集中风险获得了显著的收益。不再依赖于静态均值-方差优化程序来计算投资组合的波动性，其中我们有

，并使用一些任意分布（例如，正态或对数正态）来预测理论分布的尾部VaR，我们现在可以使用历史损失数据进行分析和实证，运行相关的蒙特卡罗模拟，并获得基于经验的Tail VaR，它提供了更复杂、更稳健、更准确的分析，以及更低的资本要求。

综合风险分析框架

我们现在能够将所有部分整合到一个集成的风险分析框架中，并了解这些不同的技术在风险分析和风险管理环境中是如何关联的。该框架包括成功实施全面风险分析的八个不同阶段，从定性管理筛选过程到为管理层创建清晰简洁的报告。该流程是作者根据之前在咨询领域和行业特定问题中成功实施的风险分析、预测、实物期权、估值和优化项目开发的。这些阶段可以单独执行，也可以按顺序一起执行，以进行更稳健的综合分析。

图9近距离显示了综合风险分析过程。我们可以将该过程分为以下八个简单步骤：

1.定性管理筛选。

2.时间序列与回归预测。

3.基本情况KVA和净现值分析。

4.蒙特卡罗模拟。

5.实物期权问题框架。

6.实物期权建模与分析。

7.投资组合和资源优化。

8.报告和更新分析。

1.定性管理筛选

定性管理筛选是任何综合风险分析过程的第一步。决策者必须根据组织的使命、愿景、目标或整体业务战略，决定哪些项目、资产、举措或战略是可行的，以便进行进一步分析。组织的使命、愿景、目标或整体商业战略可能包括战略和战术、竞争优势、技术、收购、增长、协同或全球化问题。也就是说，最初的项目清单应该符合决策者的议程。通常，最有价值的见解是在决策者制定要解决的完整问题时产生的。这就是识别和清除组织的各种风险的地方。

2.时间序列与回归预测

如果存在历史或可比数据，则使用时间序列分析、随机预测或多元回归分析来预测未来。否则，可以使用其他定性预测方法（主观猜测、增长率假设、专家意见、德尔菲方法等）。7风险模拟器也可以用于运行更先进的预测技术，如非线性外推，随机过程（均值回归、随机游走、跳跃扩散和混合过程）以及Box-Jenkins-ARIMA计量经济学模型。

3.基本情况净现值分析

对于通过初始定性筛选的每个项目，都会创建一个贴现现金流模型。该模型用作基本案例分析，其中使用前一步中的预测值计算每个项目的净现值或ROI。如果只有一个项目正在评估中，则此步骤也适用。该净现值是使用传统方法计算的，即使用预测收入和成本，并以适当的风险调整率对这些收入和成本的净额进行折现。此处生成投资回报率和其他指标。对于非营利组织、政府组织或军事组织，我们也可以在此阶段应用知识增值（KVA）分析。KVA提供了运行ROI分析所需的收益或收入代理。KVA通过在流程级别分析组织、流程或职能来衡量人力资本资产和IT资产提供的价值。它通过将所有资产的产出货币化，包括无形资产（例如，It和人类生产的资产），来深入了解每一美元的It投资。通过获取嵌入组织核心流程（即员工和IT）的知识价值，KVA可以确定流程、产品或服务的实际成本和收入。因为KVA根据历史价格和这些过程的每个公共输出单位的成本来确定产生汇总输出所需的每个过程，所以可以计算的单位成本和单价。该方法已应用于国防部的45个领域，从飞行计划应用到船舶维护和现代化过程。

4.蒙特卡罗模拟

由于静态贴现现金流只产生一个单点估计结果，因此考虑到影响预测现金流的未来事件高度不确定，通常对其准确性几乎没有信心。为了更好地估计特定项目的实际价值，接下来应该使用蒙特卡罗模拟。通常，首先对贴现现金流模型进行敏感性分析；也就是说，将净现值或ROI设置为结果变量，我们可以更改其每个先例变量，并注意到结果变量的变化。先例变量包括收入、成本、税率、贴现率、资本支出、折旧等，这些变量最终会通过模型影响净现值或投资回报率。通过追溯所有这些先例变量，我们可以将每个变量更改一个预设值，并查看其对净现值的影响。然后可以在风险模拟器中创建图形表示，因为其形状，通常被称为龙卷风图，其中最敏感的先例变量按大小降序排列在第一位。有了这些信息，分析师就可以决定哪些关键变量在未来高度不确定，哪些是确定性的。驱动净现值的不确定关键变量，因此，决策被称为关键成功驱动因素。这些关键的成功驱动因素是蒙特卡洛模拟的主要候选者。由于这些关键的成功驱动因素中的一些可能是相关的，因此可能需要进行相关的多维蒙特卡罗模拟。通常，这些相关性可以通过历史数据获得。运行相关模拟可以更接近变量的真实行为。

5.实物期权问题框架

现在的问题是，在上一步量化风险后，下一步会怎样？以某种方式获得的风险信息需要转化为可操作的情报。仅仅因为风险已经通过蒙特卡洛模拟量化为这样那样，那么我们该怎么做呢？答案是使用实物期权分析来对冲这些风险，评估这些风险，并定位自己以利用这些风险。实物期权的第一步是通过制定问题的过程生成战略地图。根据最初定性管理筛选过程中出现的总体问题识别，每个特定项目的某些战略选择将变得显而易见。战略选择可能包括扩张、收缩、放弃、转换、选择等等。基于对每个项目或项目每个阶段存在的战略可选性的识别，分析师可以从选项列表中进行选择，以进行更详细的分析。项目中增加了实物期权，以对冲下行风险并利用上行波动。

在这个阶段，还可以应用复杂系统建模、系统动力学和博弈论。也就是说模型可以被设置为多个链接或嵌套选项的系统，其中一个选项与另一个选项一致关联（例如，复杂的同时和顺序复合选项），竞争对手行为的后果可以包括在模型中（例如，在寡头垄断的情况下进行的战略竞争游戏，对手根据你采取的行动采取非常不同的行动，产生多个潜在场景和回报）。

6.实物期权建模与分析

通过使用蒙特卡罗模拟，得到的随机贴现现金流模型将具有价值分布。因此，模拟对每个项目的各种风险和不确定性进行建模、分析和量化。结果是NPV的分布和项目的波动性。在实物期权中，我们假设基础变量是项目的未来盈利能力，即未来现金流序列。未来自由现金流或基础变量的隐含波动性可以通过之前进行的蒙特卡洛模拟结果来计算。通常，波动率是以自由现金流对数回报率的标准差来衡量的。此外，在实物期权建模中，基本情况贴现现金流模型的未来现金流现值被用作初始基础资产价值。利用这些输入，进行实物期权分析，以获得项目的战略期权价值。

7.投资组合和资源优化

投资组合优化是分析中的一个可选步骤。如果对多个项目进行分析，决策者应该将结果视为汇总项目的组合，因为在大多数情况下，这些项目是相互关联的，单独查看它们不会呈现真实情况。由于组织不仅仅有单个项目，因此组合优化至关重要。鉴于某些项目与其他项目相关，因此有机会通过投资组合对冲和分散风险。由于公司的预算有限，时间和资源有限，同时对某些总体回报水平、风险承受能力等有要求，因此投资组合优化会考虑所有这些因素，以创建最佳的投资组合。该分析将提供多个项目投资的最佳分配。

8.报告和更新分析

在生成报告之前，分析尚未完成。不仅要展示结果，还要展示过程。清晰、简洁和精确的解释将一组困难的黑匣子分析转化为透明的步骤。如果决策者不了解假设或数据的来源以及发生了什么类型的数学或分析按摩，他们永远不会接受来自黑匣子的结果。风险分析假设未来是不确定的，决策者有权在这些不确定性得到解决或风险已知时进行中期修正；分析通常是提前完成的，因此，在这种不确定性和风险之前。因此，当这些风险随着时间、行动和事件的推移而变得已知时，应重新进行分析，以纳入所做的决策或修改任何输入假设。有时，对于长期项目，应该进行几次实物期权分析迭代，其中使用最新数据和假设更新未来的迭代。了解进行综合风险分析所需的步骤很重要，因为它不仅能深入了解方法本身，还能深入了解方法如何从传统分析演变而来，显示传统方法的终点和新分析的起点。在此阶段，可以根据前七个阶段的输出创建管理面板、平衡记分卡和其他报告机制。

结论

希望现在已经很明显，未来的决策需要使用更先进的分析程序来做出战略投资决策和管理项目组合。在过去，由于缺乏技术成熟度，这将是极其困难的，因此企业不得不依靠经验和直觉进行管理。如今，在技术和更成熟的方法的帮助下，没有任何借口不进一步进行分析。3M、空中客车、波音、英国石油、雪佛龙、强生、摩托罗拉、辉瑞和许多其他公司多年来已经成功地使用了这些技术。相关的软件应用程序、书籍、案例研究和公共研讨会都已创建，概念验证案例研究也已开发。11简单地说，实施的唯一关键障碍是缺乏教育或接触。许多人还没有见过甚至听说过这些新概念，希望这本入门书如果成功的话，能让读者看到丰富的分析技术和工具，这些技术和工具可以补充目前正在做的工作。