最长递增子序列问题的求解

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最长递增子序列问题的描述

设L=(a1,a2,…,an)是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=(aK1,ak2,…,akm)，其中k1＜k2<…＜km且aK1＜ak2＜…＜akm。求最大的m值。

算法1：转化为LCS问题求解

设序列X=（b1,b2,…,bn）是对序列L=（a1,a2,…,an）按递增排好序的序列。那么显然X与L的最长公共子序列即为L的最长递增子序列。这样就把求最长递增子序列的问题转化为求最长公共子序列问题LCS了。最长公共子序列问题用动态规划的算法可解，时间复杂度为O（n2）。

算法2：动态规划法

设f(i)表示L中以ai为末元素的最长递增子序列的长度。则有如下的递推方程：
-　　若存在就j＜i且aj＜ai，则f(i)=max{f(j)+1}, 其中aj＜ai　
-　　若不存在j＜i且aj＜ai，则f(i)=1
这个递推方程的意思是，在求以ai为末元素的最长递增子序列时，找到所有序号在L前面且小于ai的元素aj，即j＜i且aj＜ai。如果这样的元素存在，那么对所有aj都有一个以aj为末元素的最长递增子序列的长度f(j)，把其中最大的f(j)选出来，那么f(i)就等于最大的f(j)加上1。如果这样的元素不存在，那么ai自身构成一个长度为1的以ai为末元素的递增子序列。

算法2的java代码实现：

public void lis(float[] L)
  {
         int n = L.length;
         int[] f = new int[n];//用于存放f(i)值；
         f[0]=1;//以第a1为末元素的最长递增子序列长度为1；
         for(int i = 1;i<n;i++)//循环n-1次
         {
                f[i]=1;//f[i]的最小值为1；
                for(int j=0;j<i;j++)//循环i 次
                {
                       if(L[j]<L[i]&&f[j]>f[i]-1)
                              f[i]=f[j]+1;//更新f[i]的值。
                }
         }
         System.out.println(f[n-1]);            
              }

算法2的改进：

在第二种算法中，在计算每一个f(i)时，都要找出最大的f(j)(j＜i)来，由于f(j)没有顺序，只能顺序查找满足aj＜ai最大的f(j)，如果能将让f(j)有序，就可以使用二分查找，这样算法的时间复杂度就可能降到O(nlogn)。于是想到用一个数组B来存储“子序列的”最大递增子序列的最末元素，即有B[f(j)] = aj。在计算f(i)时，在数组B中用二分查找法找到满足j＜i且B[f(j)]=aj＜ai的最大的j,并将B[f[j]+1]置为ai。

java代码实现：

lis1(float[] L)
{
    int n = L.length;
    float[] B = new float[n+1];//数组B；
    B[0]=-10000;//把B[0]设为最小，假设任何输入都大于-10000；
    B[1]=L[0];//初始时，最大递增子序列长度为1的最末元素为a1
    int Len = 1;//Len为当前最大递增子序列长度，初始化为1；
    int p,r,m;//p,r,m分别为二分查找的上界，下界和中点；
    for(int i = 1;i<n;i++)
    {
        p=0;r=Len;
        while(p<=r)//二分查找最末元素小于ai+1的长度最大的最大递增子序列；
        {
           m = (p+r)/2;
           if(B[m]<L[i]) p = m+1;
           else r = m-1;
        }
        B[p] = L[i];//将长度为p的最大递增子序列的当前最末元素置为ai+1;
        if(p>Len) Len++;//更新当前最大递增子序列长度；


    }
    System.out.println(Len);
}