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线性变换与线性同构是代数中两个重要的概念，这里进行一下对比。
线性映射可以相对于两个不同的空间，也可以相对同一个空间。
空间是否相同，主要根据基向量是否相同来判断。
线性变换则只能是同一个空间。
从线性同构的定义可以看出，V和V‘可以是两个不同的线性空间，（也可以相同，当σ是单位矩阵的时候）但当映射σ是一个满秩矩阵的时候，基向量经过同构映射以后还是基向量：
如上图所示的三维空间，存在两组不同的基。
大概可以认为，线性同构是指，一个向量OP在坐标系Ov中有一个三维坐标值，经过线性变换以后，在新的坐标系OL中又有一个新的三维坐标值。
因为这两组基向量都是三维的，事实上它们都处于同一个三维空间中。
当然，映射σ不是一个满秩矩阵的时候需要另行讨论。
线性同构与线性变换相比，前者要求这种映射是双向的，而且是一一对应的。
也就是说，线性变换会出现降维的情况，但同构不会。
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