高考数学速解思路培养：数列求通项，典型例题+技巧归类

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本文主要列举了高考数学中数列通项公式的一些常用求法，包含观察法（猜想法）、公式法、叠加法、叠乘法、构造法、待定系数法、倒数法这七种常用方法，并附录了经典例题及相应解法。

一：观察法（直接法）

【有些数列通项公式能直接看出来，此处略】

二：猜想+数学归纳

【写出数列的前几项，猜想出数列通项，并用数学归纳法证明，此处略】

三：公式法

已知Sn与an的关系，利用以下公式求数列通项

注意求出后考虑合并

四：累加法

五：累乘法

六：

对形如 (p≠1)的递推式，有以下两种方法。

①：将n用n-1代，两式相减得

故{an+1 -an}为首项为a2-a1，公比为p的等比数列。

②：待定系数构造等比数列【下文“十八”会说，此处略】

七：

对形如 (p≠1)的递推式，通项求法为

两边同除以得

令bn=a^n\p^n

再用累加法即可。

八：取倒数【基础】

对形如的递推式，其通项求法为

两边取倒数得

令bn=1\an，问题转换为“六”中所述。

九：常系数齐次线性递推数列

对k阶常系数齐次线性递推数列{an}，已知前k项 (j=1,2,…,k)

其特征方程为

①若特征方程有k个不同的根xi,(i=1,2,…,k)，则其通项公式为,

其中Ci为待定常数，由初值条件ai=αi确定。

②若特征方程有k1个重根，k2个重根，……，ks个重根，其中

则其通项公式为

其中Ci为待定常数，由初值条件ai=αi确定。

特别地，对二阶常系数齐次线性递推式

其特征方程为，

，两根为

①α≠β，则

②α＝β，则

其中C1，C2由初始值a1，a2确定。

十：取对数

①对形如的递推式，其通项求法为

两边取对数，

换元后转换成“六”

【如果p=1，则取底数m为10或e，若p≠1，则取底数m为p】

②对形如

同上，两边取对数后换元转换成二阶常系数齐次线性递推式。

十一：不动点法

不动点法主要用于解决分式递推式。如对于形如

的递推式，其特征方程，

解出的两根α，β为该数列的不动点

①α≠β，则，

为等比数列，其中公比由α，β和C,D确定。

解题步骤：（1）由特征方程求出不动点α，β。（2）列出an-α，an-β并相除，带入递推式求出公比，从而解出an

②α＝β，则，

为等差数列

【解题步骤类似】

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