高考数学数列考法预测

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根据往年，结合大数据分析，数列部分今年大概率会考的核心考点，隐含在下面的4道题中。看看自己能不能做出来。

例1：数列{an}满足a1=1,an=（√3an-1+1）/(√3-an-1),求S1000【提示：数列周期】

例2：数列{an}满足a1=2，an+1=(an+1/an)/2,求S6【提示：数列不动点】

例3：数列{an}满足a1=2，|an+1|=2|an|，S10=-12，求a2+a4+a6+a8+a10【提示：分类讨论】

例4：求证：(1+1*2)(1+2*3)…[(1+n(n+1))]>e2n-1 【提示：函数思想与数列放缩】

补充知识点周期数列与模周期数列

定义：数列an+T=an，n，T∈N*, ∀ n≥1，则称{an}为纯周期数列，Tmin为最小正周期，简称从第n项起的周期为T的周期数列。①若N=1，则称数列{An}为纯周期数列 ②若N>2，则称数列{An}为混周期数列。混周期数列举例 {2,3,5,3,5,3,5}

周期数列的相关拓展

定义：设{An}是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn=An(mod m)，定义为Bn是An除以m后的余数,且Bn在{0,1,2,…,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m的模数列,记作{Anmod m}。若模数列{An mod m}是周期的,则称{An}是关于模m的周期数列。模数列举例an为{2n+1}，m=2，Bn为{1}。

周期数列的7种形式

第一种、若任意连续m项之和为常数，则数列周期为T=m。特例：周期若an+1+an=C ，则周期T=2 (其中C为常数)。

证明方法：数学归纳法+构造错位相减

对特例证明: an+1+an=C,an+2+an+1=C,由两式可得an+2= an。同理可推出若an+an-1+…+an-k=C时，T=k+1

第二种、若任意连续m项之积为常数，则周期为T=m。特例：an+1•an=C，则周期T=2。同理可以推出an•an-1•…•an-k=C时，T=k+1 证明思路同上

推广：若非常数列{an}满足(an•an-1•…•an-k)/( an+an-1+…+an-k)=C,则an为周期数列T=k+1。

证明：由an•an-1•…•an-k=C（an+an-1+…+an-k）—–①

an+1•an•an-1•…•an-k+1= C（an+1+an+an-1+…+an-（k-1））——②

①-②，同时提取an+1-an-k，因an不是常数列。若an+1-an-k！=0，则上式转化为an•an-1•…•an-k=C的形式。

若an+1-an-k=0，根据递推关系，an=ak，…an-m+1=an-m,与非常数列矛盾，舍。

第三种、若an+1=-1/（an+1）,则T=3。

证明方法：即证an+3=an，an+3可以使用an+2表示，an+2又可以使用an+1表示，an+1又可以用an表示。实际上就是一个不断迭代的过程。联想一下抽象函数的迭代。

an+3=-1/（an+2+1）=-1/[(-/an+1+1)+1]=[-1/(an+1)+1]/[1/(an+1)]=an

若an+1=(an-1)/an，则T=3 证明思路同上

第四种、若an+1=（1+an）/(1-an),则T=4

证明方法：使用上面迭代的方式也是可以的（略）。但这里要利用函数的思想处理会更简单。即证an+4=an。设an+1=f(an),an+2=g(an),则an+4=g(an+2)=g(g(an))=f(f(f(f(an))))

证明：an+1=(1+an)/(1-an),an+2=[1+(1+an)/(1-an)]/[1-(1+an)/(1-an)]=-1/an,则an+4=-1/an+2=an

若an+1=(A•an+B)/(C•an+D)

【解析】：若A+D=0,利用函数的思想，反比例函数。即证an+2=an，用an+1表示an，则出现的是系数相同的同构的反比例函数。若A!=D考虑利用方程的思想考虑“不动点”。

令an+2=f(an+1),an=g(an+1),则an+2=(A•an+1+B)/(C•an+1+D)，an=(-D•an+1+B)/(C•an+1-A)

分类讨论：A+D

①若A+D=0,则an+2=an为T=2的周期数列

②若A!=D,考虑不动点法（搞清本质）。不动点是指使方程f(x)=x成立的x叫函数f(x)不动点。形如a(n+1)=f(an)的递推数列，若数列最终收敛为x0，即f(x0)=x0,这个式子想表达什么呢？表达的是若存在数列的某项ak=x0，又因ak+1=f(ak)=f(x0)=x0,所以只要过了第k项，数列最终收敛为x0了（f(x)=ax+b,f(x)=(ax+b)/(cx+d)等类型）。

最重要的是看看求出的x0怎么用。因为x0是不动点，所以下面举例说明

第五种、若an+2=an+1-an，则周期T=6

证明方法：an+6=f(an+5,an+4)=g(an+4,an+3)=m(an+3,an+2)=n(an+2,an+1)=e(an+1,an)=an（迭代的过程）

证明：an+3=an+2-an+1=（an+1-an）-an+1=-an，an+3=-an，an+6=-an+3=an

总结一下：实际上大家不是对数列符合周期形式必须记忆的。这里对于递推关系式的求解，需要记住的是，当常规的待定系数、不动点等方法不奏效时，还有一种大法，就是使用数学归纳法，逐步进行迭代就可以了。

另外一方面，数列本身可以看是函数f(n)=an,即离散的函数。使用函数思想证明或求最值也是高考数学考察的重点内容。一定要想到函数方程的思想。数列可以与圆锥曲线、立体几何、概率等知识点联合起来考察，其关键就是能够识别出命题人到底想让大家使用哪方面的知识进行解答。

这里提醒大家一句，如果前面的题目明确的知道考察了一个常规的核心知识点，那么后面的考题中，几乎不会在出现相同的核心考点。希望对大家解答压轴题思路时