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第一节 空间直角坐标系 2. 几种常见二次曲面. (1) 椭球面 方程 所表示的曲面 由方程可见： 这说明椭球面完全包含在一个以原点O为中心的长方体内。 其中a,b,c称为椭球面的半轴。 椭球面与三个坐标面的交线： 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 的交线为椭圆 同理与平面 和 的交线也是椭圆. 椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别： 方程可写为 与平面 的交线为圆. 球面 截面上圆的方程 方程可写为 ( 与 同号) 椭圆抛物面 用截痕法讨论： (1)用坐标面 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 设 原点也叫椭圆抛物面的顶点. (2) 椭圆抛物面: 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上. 与平面 不相交. (2)用坐标面 与曲面相截 截得抛物线 与平面 的交线为抛物线. 它的轴平行于 轴 顶点 (3)用坐标面 ， 与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 时可类似讨论. z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下： 特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面 (由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的) 与平面 的交线为圆. 当 变动时，这种圆的中心都在 轴上. ( 与 同号) 双曲抛物面(马鞍面) 用截痕法讨论： 设 图形如下： x y z o (三)双曲面 单叶双曲面 (1)用坐标面 与曲面相截 截得中心在原点 的椭圆. 单叶双曲面图形 x y o z 平面 的截痕是两对相交直线. 双叶双曲面 x y o 返回 一、平面的点法式方程 1. 法向量: 若一非零向量n垂直于一平面?. 则称向量n为平面? 的法向量. 注: 1? 对平面?, 法向量n不唯一; 2? 平面? 的法向量n与? 上任一向量垂直. 第五节 平面及其方程 2. 平面的点法式方程 设平面?过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n={A,B, C}. 对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直. y x z M0 M n O n ? M0 M = 0 而M0 M ={x ? x0, y ? y0, z ? z0}, 得: A(x ? x0) +B( y ? y0) +C( z ? z0) = 0 称方程(1) 为平面的点法式方程. (1) 例1: 求过点(2, ?3, 0)且以 n = {1, ?2, 3}为法向量的平面的方程. 解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1 ? (x ? 2) ? 2 ? (y + 3) + 3 ? (z ? 0) = 0 即: x ? 2y + 3z ? 8 = 0 二、平面的一般方程 1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C} 证: A, B, C不能全为0, 不妨设A ? 0, 则方程可以化为 它表示过定点 , 且法向量为 n = {A, B, C}的平面. 注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2) 称为平面的一般方程. 例3: 已知平面过点M0(?1, 2, 3), 且平行于平面2x ?3y + 4z ?1= 0, 求其方程. 解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n ={2 ?3, 4} 2(x +1) ? 3(y ?2) + 4(z ? 3) = 0 即: 2x ? 3y + 4z ?4 = 0 三、两平面的夹角 1. 定义: 两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角. ?1 ? ? n1 n2 ?2 若已知两平面方程是: ?1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 法向量
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