导数技巧：“指数找基友，对数单身狗；指对在一起，常常要分手”

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

高三导数专题之对数单身狗，指数找朋友问题技巧归类整理。

口诀：对数单身狗，指数找基友；指对在一起，常常要分手

指数找基友，对数单身狗”是在判断代数式符号、比较代数式大小、证明函数不等式等方面的一条经验性规则，这个口诀最初是由重庆南开中学吴剑老师（网名野猪佩奇）提出的，下面看如何理解.

根据指数函数和对数函数的导数、以及导数的运算法则，不难知道：

[f(x)e-x]′=0⇔[f′(x)-f(x)]e-x=0⇔f′(x)-f(x)=0

[f(x)ex]′=0⇔f′(x)+f(x) ex=0⇔f′(x)+f(x)=0

[lnx-f(x)]′=0⇔1/x -f′(x)=0

从这三个式子，我们大致可以得到如下两条经验：

指数找基友：如果我们要证明大于(或小于)一个非超越函数式f(x)，可以考虑采用作商法，因为作商构造出的新函数f(x)/极值点一般可求，即方程f ‘(x)-f(x)=0可解，可避免多次求导.此所谓“指数找基友”——给找基友f(x).

对数单身狗：如果我们要证明lnx小于(或大于)一个非超越函数式f(x)，可以直接作差，构造函数lnx-f(x)，这也是因为其极值点可求，即方程1/x-f'(x)=0可解，可避免多次求导. 如果待证的不等式形式较为复杂，可以将lnx分离出来，使其系数为常数，次数为1，此所谓“对数单身狗”.

已知函数f(x)=-a.若a=1， 证明：当x≥0时，f(x)≥1.

【方法一】指数找基友

当a=1时，f(x)=–，

不等式f(x)≥1等价于+1≤.

构造函数g(x)=

求导可得g'(x)==≤0，

其中等号只在x=1时取得，

所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，

所以当x≥0时，g(x)≤g(0)=1，

又因为>0，所以+1≤.

故原命题得证.

指对在一起，常常要分手：

拓展思路

口诀：三角函数单身狗，正弦正切会朋友，不是同类早分手