钟面上时针与分针形成平角的时刻

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　　之所以想到这个题目，是因为一道小学数学题。

　　题目如下：

　　“钟面上（　　）时整，时针与分针的夹角为平角。”

　　孩子们会十分果决地填上“6”或“18”。

　　的确很简单。但也幸亏有了一个“整”字，否则，问题还是不太简单的。

　　本文想罗列出钟面上所有能让时针和分针形成平角的时刻，若是对于小学生，还是蛮有挑战的。

（一）先做一些准备工作。

　　钟面上平均分为12大格，60小格，1大格等于5小格；

　　钟面上一圈为360度，相应1大格为30度，1小格为6度；

　　时针每小时走1大格，即每60分钟旋转30度，角速度为：0.5度/分；

　　分针每分钟走1小格，即每1分钟旋转6度，角速度为：6度/分；

　　秒针每分钟走1圈，即每分钟旋转360度，角速度为：360度/分。

（二）找一个方便的起点

　　开始时间　00：00：00

（三）分析一下问题的数学模型

　　分针跑得比时针快，要让二者的夹角形成平角，可以从0点出发（此时分针与时针居于同一起跑线），算一算，经过多少时间（统一以“分”为单位吧），分针会超出时针1个180度、3个180度、5个180度、……可以想见，若是超出偶数个180度，则找到的是“时针与分针重合”的时刻。不妨，我们将这两个问题合并在一起解决，即：既找钟面上时针与分针形成的“平角”时刻，又找“周角”时刻，而且是所有的。

（四）列方程

　　设：x分钟后，分针与时针的夹角为平角。

　　分针旋转的角度=时针旋转的角度+180度×k

　　6x=0.5x+180k

　　其中：我们让k取不为0的自然数。

　　得到的计算结果表示“经过时间”，仍需计算：开始时间＋经过时间＝结束时间。由于开始时间取为0时了，这步计算从数量上没多大意思，只涉及到“时长”转“时刻”的意义变化。

（五）结论

　　解方程的过程略。下面是用Excel计算的结果。

“平角”时刻

　　（1）时针与分针形成平角的时刻

　　0:32:43.636

　　1:38:10.909

　　2:43:38.182

　　3:49:05.455

　　4:54:32.727

　　6:00:00.000

　　7:05:27.273

　　8:10:54.545

　　9:16:21.818

　　10:21:49.091

　　11:27:16.364

“周角”时刻

　　（2）时针与分针重合的时刻

　　1:05:27.273

　　2:10:54.545

　　3:16:21.818

　　4:21:49.091

　　5:27:16.364

　　6:32:43.636

　　7:38:10.909

　　8:43:38.182

　　9:49:05.455

　　10:54:32.727

　　12:00:00.000

　　（3）用自己的话总结一下

　　一天中，时针与分针的夹角，会出现22次平角、22次周角；若是12个小时，则会出现11次平角，11次周角。

　　钟表是我们所熟悉的事物，然而要“了解”它，还需要努力。就像了解我们的朋友一样。

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