卷积与卷积定理，数字信号卷积

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连续信号的卷积与卷积定理

卷积

卷积由反褶、平移、相乘、积分几个部分组成
对于连续实值函数$f_1(t)$和$f_2(t)$在（$-\infty ,+\infty$）内有定义，积分

${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$为$f_1(t)$与$f_2(t)$的卷积

记作 ${\mathbf{f}}_1(\mathbf{t})\ast {\mathbf{f}}_2(\mathbf{t})={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathbf{f}}_1(\mathbf{\tau }){\mathbf{f}}_2(\mathbf{t}-\mathbf{\tau })\mathbf{d}\mathbf{\tau }$

卷积满足交换律、结合律、分配率，实质就是在计算积分。

例题：
$f(t)=t^{2}u(t)$， $g(t)=\{\begin{array}{rlr}1,& |t|\le 1,& \\ 0,& |t|>1.& \end{array}$
求卷积：

当$t<-1时$，$g(t)=0,f(t)\ast g(t)=0$

当$-1<t<1时$，$f(t)\ast g(t)={\int }_{-1}^{t}1\ast (t-\tau {)}^{2}d\tau =\frac{1}{3}(t+1{)}^3$

函数图像：

虽然$g(t)=0$，但积分值中依然包括
$f(t)\ast g(t)={\int }_{-1}^{1}1\ast (t-\tau {)}^{2}d\tau =\frac{1}{3}(6t^2+2)$的部分。

故$f(t)\ast g(t)=\{\begin{array}{rl}0,& t<-1\\ \frac{1}{3}(t+1{)}^3,& -1<t<1\\ \frac{1}{3}(6t^2+2),& t>1\end{array}$

卷积定理

由卷积与傅里叶变换得：

时域傅里叶卷积定理：

$\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)\ast f_2(t)e^{-jwt}dt=F_1(w)\cdot F_2(w)$

频域傅里叶卷积定理：

$\mathcal{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi }\mathcal{F}[f_1(t)]\ast \mathcal{F}[f_2(t)]=\frac{1}{2\pi }{F}_1(w)\ast F_2(w)$

时域卷积 对应 频域乘积

由卷积与拉普拉斯变换得：

$\mathcal{L}[f_1(t)\ast f_2(t)]={\int }_0^{+\infty }{f}_1(t)\ast f_2(t)e^{-st}dt=F_1(s)\cdot F_2(s)$

$\mathcal{L}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi j}{\int }_0^{+\infty }{f}_1(t)\cdot f_2(t)e^{-st}dt=\frac{1}{2\pi j}{F}_1(s)\ast F_2(s)$

化简下来实际是在求二重积分

想更直观地了解拉氏变换可参考这篇：拉普拉斯变换【直观解释】—复变函数与积分变换学习笔记

离散的数字信号卷积

同样的，对于离散的数字信号进行卷积，也需要进行反褶、平移滑动、相乘、累加的几个步骤。
以一维向量卷积为例：
加入有一维行向量$u=[1234]，q=[102030]$
对其进行卷积运算$\mathbf{u}\ast \mathbf{q}或\mathbf{q}\ast \mathbf{u}$（任取一个作为卷积核）
进行如下过程的卷积运算：
先将卷积核反转，在逐个进行相乘后平移滑动，再相乘，再继续滑动，累加计算结果

$\mathbf{u}\ast \mathbf{q}或\mathbf{q}\ast \mathbf{u}$ 的结果便为

[10（10×1)， 40 （20×1+10×2），100（30×1+20×2+10×3），160（30×2+20×3+10×4），170（30×3+20×4），120（30×4）]

在MATLAB中的命令为
$c=conv(q,u)或c=conv(u,q)$
也可通过deconv进行去卷积：

信号有很多种类，有连续的，离散的，一维的，多维的；图像就一种典型的二维信号，可以分割成很多的像素点，并可以有RGB（Red,Green,Blue）三原色通道。

在最开始的定义式 $\mathbf{h}(\mathbf{x},\mathbf{y})={\mathbf{f}}_1(\mathbf{x},\mathbf{y})\ast {\mathbf{f}}_2(\mathbf{x},\mathbf{y})={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathbf{f}}_1(\mathbf{x},\mathbf{y}){\mathbf{f}}_2(\mathbf{x}-\mathbf{\tau },\mathbf{y}-\mathbf{\tau })\mathbf{d}\mathbf{\tau }$ 中

如果 $f_1(x,y)$和$h(x,y)$表示图像，则卷积就变成了对像素点的加权计算，冲激响应 $f_2(x,y)$就可以看成是一个卷积模板(或称作卷积核)。对图像中每一个像素点[x,y]输出响应值$h(x,y)$是通过平移卷积模板到像素点[x,y] 处,计算模板与像素点[x,y]邻域加权得到的 ，其中各加权值就是卷积模板中的对应值 。
在图像处理中的卷积都是针对某像素的邻域进行的，它实现了一种邻域运算 ，即某个像素点的结果不仅仅与本像素点灰度有关，而且与其邻域点的值有关。其实质就是对图像邻域像素的加权 求和得到输出像素值，其中的权矩阵称为卷积核(所有卷积核的行、列数都是奇数 )，也就是图像滤波器 。

图中中间那个3*3矩阵就是卷积核（或叫做计算模板），即式中的$f_2(x,y)$，通过与input中的原始二维数组进行计算，计算过程如动图所示

就得到了卷积的结果。
对于图像，选取不同的卷积核，会有不同的滤波效果，比如高通低通滤波，对应出来的效果就是锐化和平滑。

在信号与系统中

如上图所示，卷积核就是一个非周期的门函数，和单位冲激序列进行卷积得到的就是矩形周期信号

时域上卷积 对应 频域（或复频域）上乘积
时域上乘积 对应 $\frac{1}{2\mathbf{\pi }}(或\frac{1}{2\mathbf{\pi }\mathbf{j}})$倍的频域（或复频域）上卷积