GKR协议小记

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1. 引言

前序博客：

• Delegating Computation: Interactive Proofs for Muggles 学习笔记
• sum-check protocol in zkproof
• sum-check protocol深入研究

Goldwasser, Kalai和Rothblum (GKR) 2008年论文《Delegating Computation: Interactive Proofs for Muggles》中描述了一种强大的通用interactive proof protocol——GKR协议，该协议定位为circuit evaluation 上下文：

• 已知某layered arithmetic circuit $C$，其depth为$d$，size为$S(n)$，fan-in为$2$。其中$n$为input length，$\tilde{O}$中隐藏了$n$中的polylogarithmic因子。
• GKR协议允许Prover在保证正确的情况下以time $\text{poly}(S(n))$来evaluate $C$。
• Verifier run time为$\tilde{O}(n+d\log S(n))$。

因此，对于具有polynomial size和sublinear depth的电路，其Verifier的runtime为quasilinear in the input length——相比于整个电路size要小很多，因此，相比于Verifier直接在本地执行计算所需用时要节约大量时间。

而Cormode, Mitzenmacher, and Thaler（CMT）2012年论文《Practical Verified Computation with Streaming Interactive Proofs》中，将GKR协议中Prover的runtime，由$\text{poly}(S(n))$ 降为 $O(S(n)\log S(n))$，同时在https://github.com/pepper-project/pepper/tree/master/pepper/cmtgkr（C语言）中做了完整实现并benchmark。

而Thaler 2013年论文《Time-optimal interactive proofs for circuit evaluation》中，对（如任意并行数据计算中的）具有重复结构的电路，将GKR协议中Prover的runtime，由$O(S(n)\log S(n))$ 进一步降低。

本文：

• 展示了对CMT协议的改进
• 提供了一种理论简化方法，可降低Prover runtime、round复杂度，并与CMT相比将GKR协议中总的communication开销降低约33%。

2. 背景知识

2.1 Interactive Proof

为函数$f$定义一个valid interactive proof协议：

2.2 sum-check 协议

假设已知某基于有限域$\mathbb{F}$的具有$v$个变量的多变量多项式$g$，sum-check协议的目的是计算：
H : = ∑ b 1 ∈ { 0 , 1 } ∑ b 2 ∈ { 0 , 1 } ⋯ ∑ b v ∈ { 0 , 1 } g ( b 1 , ⋯   , b v ) H:=\sum_{b_1\in\{0,1\}}\sum_{b_2\in\{0,1\}}\cdots \sum_{b_v\in\{0,1\}}g(b_1,\cdots,b_v) H:=∑b1​∈{
0,1}​∑b2​∈{
0,1}​⋯∑bv​∈{
0,1}​g(b1​,⋯,bv​)

为执行该协议，Verifier需能对随机选择的$(r_1,\cdots ,r_v)\in {\mathbb{F}}^v$进行evaluate $g(r_1,\cdots ,r_v)$。

sum-check协议执行$v$轮：

• 第一轮：Prover $P$ 发送多项式$g_1(X_1)$，并声称 g 1 ( X 1 ) = ∑ x 2 , ⋯   , x v ∈ { 0 , 1 } v − 1 g ( X 1 , x 2 , ⋯   , x v ) g_1(X_1)=\sum_{x_2,\cdots,x_v\in\{0,1\}^{v-1}}g(X_1,x_2,\cdots,x_v) g1​(X1​)=∑x2​,⋯,xv​∈{
  0,1}v−1​g(X1​,x2​,⋯,xv​)。由此可知：
  • 若$g_1$正确，则有$H=g_1(0)+g_1(1)$
  • 多项式$g_1(X_1)$的degree为${\mathrm{deg}}_1(g)$——即$X_1$变量在$g$多项式中的degree。因此，可通过${\mathrm{deg}}_1(g)+1$个field elements来唯一确定$g_1$。
    • 实际实现时，Prover $P$ 可发送$g$在set { 0 , 1 , ⋯   , deg ⁡ 1 ( g ) } \{0,1,\cdots,\deg_1(g)\} {
      0,1,⋯,deg1​(g)}的evaluations来唯一确定$g$。
• 在第$j>1$轮：
  • Verifier $V$ 选择随机值$r_{j-1}\in \mathbb{F}$，并发送给Prover $P$。
  • Prover $P$ 发送多项式$g_j(X_j)$，并声称：
    g j ( X j ) = ∑ x j + 1 , ⋯   , x v ∈ { 0 , 1 } v − 1 g ( r 1 , r 2 , ⋯   , r j − 1 , X j , x j + 1 , ⋯   , x v )      ( 1 ) g_j(X_j)=\sum_{x_{j+1},\cdots,x_v\in\{0,1\}^{v-1}}g(r_1,r_2,\cdots,r_{j-1},X_j,x_{j+1},\cdots,x_v) \ \ \ \ (1) gj​(Xj​)=∑xj+1​,⋯,xv​∈{
    0,1}v−1​g(r1​,r2​,⋯,rj−1​,Xj​,xj+1​,⋯,xv​)    (1)
  • Verifier $V$：
    • 选择最新的2个多项式，检查$g_{j-1}(r_{j-1})=g_j(0)+g_j(1)$是否成立，若不成立则拒绝。
    • 若多项式$g_j$的degree太高，也会拒绝：每个多项式$g_j$的degree应为${\mathrm{deg}}_j(g)$——对应为多项式$g$中$X_j$变量的degree。
• 在最后一轮：
  • Prover $P$ 发送$g_v(X_v)$，并声称$g_v(X_v)=g(r_1,r_2,\cdots ,r_{v-1},X_v)$。
  • Verifier $V$：
    • 直接检查$g_v(r_v)=g(r_1,r_2,\cdots ,r_{v-1},r_v)$是否成立（之前已假设Verifier $V$可evaluate $g$ at $(r_1,\cdots ,r_v)$）。
    • 若本轮检查、以及之前所有轮检查 均成功的话，则Verifier $V$ accept，从而信服$H=g_1(0)+g_1(1)$。

从而有proposition：

2.3 Multilinear extension

对于任意域$\mathbb{F}$，若$d$-variate多项式 $p:{\mathbb{F}}^d\to \mathbb{F}$的$d$个输入变量的degree最多为1，则称$p$是multilinear的。

已知函数 W : { 0 , 1 } d → { 0 , 1 } W:\{0,1\}^d\rightarrow \{0,1\} W:{
0,1}d→{
0,1}的domain为$d$-dimensional Boolean hypercube，将基于域$\mathbb{F}$的$W$的multilinear extension表示为$\tilde{W}$，对于在所有Boolean-valued input上的值均与$W$一致，则$\tilde{W}$为$W$的唯一multilinear多项式 ${\mathbb{F}}^d\to \mathbb{F}$。即对于所有的 x ∈ { 0 , 1 } d x\in\{0,1\}^d x∈{
0,1}d，有$\tilde{W}(x)=W(x)$。

2.4 GKR协议总览

GKR协议中，Prover $P$ 和 Verifier $V$需对所关心的、代表特定函数的、基于有限域$\mathbb{F}$的、fan-in 2算术电路$C$达成一致——$C$可能具有多个输出。

• 假设电路$C$为分层模式，即可将电路分解为多层，将连接相邻层的gate。
• 假设电路$C$的depth为$d$，则层1~层$d$对应为输入层，且层1对应为输出层。

GKR协议中：

• Prover $P$ 发送的第一个消息为：声称的电路$C$的输出。
• GKR协议逐层迭代，每个输入层对应一次迭代。
  • 第$i$次迭代的目的是将 层$i$中的gates values claim reduce为 层$i+1$中的gates values，从而Verifier $V$可安全地假设：若第1个claim为true，则第2个claim也为true。——具体通过对特定多项式运用标准的sum-check协议即可实现。（见下一章的Equation (2)）
• 事实上，GKR协议 以 “电路output gates values claim” 为起点，但Verifier $V$ 无法在不evaluate该电路的情况下check该claim——Verifier $V$ 想要避免该工作。
  因此，第一个迭代：运用sum-check protocol来将 “电路output gates values claim” reduce 为 “层2的gates values claim”（准确来说，是“对层2的gates values的multilinear extension evaluation的claim”）。
  以此类推，每次迭代Verifier $V$ 都不想自己check claim，因此需再用另一个sum-check protocol来将 “层2的gates values claim”（准确来说，是“对层2的gates values的multilinear extension evaluation的claim”） reduce为 “层3的gates values claim”（准确来说，是“对层3的gates values的multilinear extension evaluation的claim”）等等。
  最终，Verifier $V$ 剩下的为“电路的inputs claim”，从而Verifier $V$ 可自己检查该claim。

2.5 附加说明

已知某layered arithmetic circuit $C$，其depth为$d$，size为$S(n)$，fan-in为$2$。

• 令$S_i$表示电路circuit $C$在层$i$的gates数量。层$i$中gates的编号为$0,\cdots ,S_i-1$。
• 假设$S_i$为a power of 2，并令$S_i=2^{s_i}$
• 为解释GKR协议中每个迭代是如何处理的，需额外引入多个函数，每个函数编码了该电路的特定信息。
  • a）层$i$中gates的编号为$0,\cdots ,S_i-1$。令函数 W i : { 0 , 1 } s i → F W_i:\{0,1\}^{s_i}\rightarrow \mathbb{F} Wi​:{
    0,1}si​→F以binary gate label为输入，输出为层$i$中相应gate的value。GKR协议中使用了函数$W_i$的multilinear extension ${\tilde{W}}_i$。
  • b）GKR协议中还使用了“wiring predicate”概念来编码 “层$i+1$中与层$i$中特定gate之间连接关系的wires pairs”。
    为此，定义了2个函数 a d d i , m u l t i : { 0 , 1 } s i + 2 s i + 1 → { 0 , 1 } add_i,mult_i:\{0,1\}^{s_i+2s_{i+1}}\rightarrow \{0,1\} addi​,multi​:{
    0,1}si​+2si+1​→{
    0,1}，来共同构成层$i$的wiring predicate。
    这2个函数已3个gate labels $(j_1,j_2,j_3)$为输入，若“层$i$中的gate $j_1$” 为 “层$i+1$中gate $j_2,j_3$” 的addition（或multiplication），则返回1，否则返回0。
    令${\widetilde{add}}_i,{\widetilde{mult}}_i$分别为$ad{d}_i,mul{t}_i$的multilinear extension。
  • c）令${\beta }_{s_i}(z,p)$表示为函数：
    ${\beta }_{s_i}(z,p)={\prod }_{j=1}^{s_i}((1-z_j)(1-p_j),z_j{p}_j)$
    很容易看出，${\beta }_{s_i}(z,p)$为函数 B ( x , y ) : { 0 , 1 } s i × { 0 , 1 } s i → { 0 , 1 } B(x,y):\{0,1\}^{s_i}\times \{0,1\}^{s_i}\rightarrow \{0,1\} B(x,y):{
    0,1}si​×{
    0,1}si​→{
    0,1}的multilinear extension，当$x=y$时，有$B(x,y)=1$，否则为0。

3. CMT的GKR协议细节

CMT论文中实现的GKR协议中利用了如下identity，即对于所有的$z\in {\mathbb{F}}^{s_i}$，有：
W ~ i ( z ) = ∑ ( p , w 1 , w 2 ) ∈ { 0 , 1 } s i + 2 s i + 1 f ( i ) ( p , w 1 , w 2 )      ( 2 ) \tilde{W}_i(z)=\sum_{(p,w_1,w_2)\in\{0,1\}^{s_i+2s_{i+1}}}f^{(i)}(p,w_1,w_2) \ \ \ \ (2) W~i​(z)=∑(p,w1​,w2​)∈{
0,1}si​+2si+1​​f(i)(p,w1​,w2​)    (2)
其中：
$f^{(i)}(p,w_1,w_2)={\beta }_{s_i}(z,p)\cdot ({\widetilde{add}}_i(p,w_1,w_2)({\tilde{W}}_{i+1}(w_1)+{\tilde{W}}_{i+1}(w_2))+{\widetilde{mult}}_i(p,w_1,w_2)({\tilde{W}}_{i+1}(w_1)\cdot {\tilde{W}}_{i+1}(w_2)))$

CMT的第$i$次迭代对多项式$f^{(i)}$运用sum-check protocol。由于多项式$f^{(i)}$有$s_i+2s_{i+1}$个变量，相应的sum-check协议需要$s_i+2s_{i+1}$轮。

CMT论文中展示了：

• 在每轮，Prover time为$O(S)$——假设$\mathbb{F}$的每个加法和乘法运算为$O(1)$ time。

4. 本文对CMT的改进

本文对CMT的改进：

• 对一个不同的、更简单的多项式运用sum-check协议。
• 将round数由$s_i+2s_{i+1}$ 降为 $2s_{i+1}$，从而将总的communication开销和Prover runtime降低了一个常量因子。
• 此外，彻底移除了${\beta }_{s_i}(z,p)$多项式。

关键的改进之处为：

• 派生了一个比上面Equation (2)更简单的${\tilde{W}}_i(z)$——关键在于仅利用了multilinear extension ${\tilde{W}}_i$ of $W_i$、${\widetilde{add}}_i$ of $ad{d}_i$、${\widetilde{mult}}_i$ of $mul{t}_i$。【关键点在于：若2个multilinear多项式agree at all Boolean inputs，则相应的2个formal多项式也必须相等。】
  
  因此，改进之后，第$i$次迭代不对多项式$f^{(i)}$运用sum-check protocol，而是，对多项式$g^{(i)}$运用sum-check protocol就足以：
• 由于$g^{(i)}$具有$2s_{i+1}$个变量，因此需要$2s_{i+1}$轮。
• 每一轮prover的计算量，等同于，CMT中对$f^{(i)}$运用sum-check协议的最后$2s_{i+1}$轮的Prover计算量。

参考资料

[1] Justin Thaler论文 A Note on the GKR Protocol

Justin Thaler系列博客

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• SNARK性能及安全——Prover篇
• SNARK性能及安全——Verifier篇
• sum-check protocol in zkproof
• sum-check protocol深入研究
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