【线性代数（8）】矩阵行列式、伴随矩阵、逆矩阵

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1 矩阵行列式

方阵的行列式：将矩阵中的元素拿出来，用行列式的形式表示

$$A=\left[\begin{array}{c}2,2,2\\ 3,3,3\\ 1,1,1\end{array}\right]|A|=\left|\begin{array}{c}2,2,2\\ 3,3,3\\ 1,1,1\end{array}\right|$$

如何理解这个里的矩阵行列式？ 可以把矩阵当做一个类，那么就可以把行列式理解其中的一个属性，矩阵还有特征值、特征向量等等属性

方阵行列式的性质：

• $|A^T|=|A|$
• $|kA|=k^n|A|$
• $|AB|=|A||B|$

例题，$A$为5阶矩阵，$|A|=3$

(1) $|-A|=(-1{)}^5|A|=-3$
(2) $|2A^T|=(2{)}^5|A|=(2{)}^5\ast 3$
(3) $||A|A|=|3A|=3^6$
(4) $||||A|A|A|A|=|||3A|A|A|=||3^{6}A|A|=|||3A|A|A|=||3^{6}A|A|=|3^{30}3A||=3^{156}$

2 伴随矩阵

只有方阵才有伴随矩阵。矩阵的伴随矩阵：求所有元素的代数余子式，按行求的代数余子式按列放构成的矩阵，比如
$$A=\left(\begin{array}{c}1,1,1\\ 2,1,3\\ 1,1,4\end{array}\right)$$$$A_{11}=1,A_{12}=-5,A_{13}=1,A_{21}=-3,A_{22}=3,A_{23}=0,A_{31}=2,A_{32}=-1,A_{33}=-1$$
求解出$A$的伴随矩阵为$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{c}{A}_{11},A_{21},A_{31}\\ A_{12},A_{22},A_{32}\\ A_{13},A_{23},A_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1,-3,2\\ -5,3,-1\\ 1,0,-1\end{array}\right)$$

任意方阵$A$,伴随矩阵的性质：

• （1）按行求，按列放
• （2）$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$，证明过程直接将式子展开，元素之间相乘后化简就是了
• （3）$|A{A}^{\ast }|=||A|E|\Rightarrow |A||A^{\ast }|=|A{|}^n\Rightarrow |A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$，恒成立
• （4）$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast },A^{\ast }=|A|A^{-1}$ ,这里就是使用了下面的逆矩阵的性质

3 逆矩阵

3.1 逆矩阵概念

假使$A$为n阶方阵，如果存在n阶方阵$B$，满足$AB=BA=E$，则称$A$的逆矩阵就为$B$，记作$A^{-1}=B$

逆矩阵性质：

• （1）未必所有的方阵都可逆，比如零矩阵
• （2）若方阵可逆，那么逆矩阵唯一
• （3）$|A|\ne 0$，说明方阵为非奇异、非退化、满秩矩阵，可逆
• （4）$A$可逆的充要条件为$|A|\ne 0，A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$
• 推论（条件比定义的要求要弱一点）：$A$为n阶方阵，如果存在n阶方阵$B$,满足$AB=E$满足$BA=E$，则$A$可逆，$A^{-1}=B$

逆矩阵求解：
（1）按照定义，可以使用伴随矩阵求解，但是过程太麻烦了
（2）初等变换法，一般使用的方式

例题，$A=\left[\begin{array}{c}1,1,1\\ 2,1,3\\ 1,1,4\end{array}\right]$，其中$|A|\ne 0$,求解$A^{-1}$

解：按照定义求解，上面已经得到了$A$的伴随矩阵，这里直接就进行计算出$|A|$,即可
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}1,-3,2\\ -5,3,-1\\ 1,0,-1\end{array}\right)$$

例题，$A+B=AB$,证明$A-E$可逆，

解：这种只给了式子证明可逆的行为，就是要求努力拼凑出定义的式子，将$E$凑在右边时，就出来了
$$AB-A-B+E=E\Rightarrow (A-E)(B-E)=E$$

例题，$A=\left[\begin{array}{c}4,2,3\\ 1,1,0\\ -1,2,3\end{array}\right]$，已知$AX=A+2X$，求解$X$

解：先将给出的等式进行化简，如下(要特别注意矩阵相乘的时候的位置，“左乘”和“右乘”是有很大区别的)
$$AX-2X=A\Rightarrow (A-2E)X=A\Rightarrow X=(A-2E{)}^{-1}A$$

特别注意：
1）矩阵相乘时候的方向位置很重要，$(A-2E{)}^{-1}A$和$A(A-2E{)}^{-1}$不一样
2）没有矩阵和数值的加减法，因此要自觉补充$E$，$A-2\Rightarrow A-2E$
3）在分母上不要出现矩阵，不应该出现$\frac{A}{A-2E}$
4）先判断可逆，再写逆矩阵。在使用$(A-2E{)}^{-1}$之前，一定要先判断$A-2E$是可逆的，也就是行列式的值不为0.（容易掉进坑里面去）
5）伴随矩阵求解
6）初等变换求解（之后梳理）

3.2 逆矩阵的性质

• （5） $A$可逆，$A^{-1}$可逆，则$(A^{-1}{)}^{-1}=A$，对比转置的性质$(A^T{)}^T=A$
• （6） $A,B$均可逆，$AB$可逆，$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$，对比转置的性质$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
• （7） $A$可逆， $A^T$可逆，则$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T,k\ne 0,(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$
• （8） $A$可逆，$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$
• （9） $A$可逆， $A^{\ast }$也可逆，则$(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A$

最后结合这伴随矩阵和逆矩阵的性质，求解$(A^{\ast }{)}^{\ast }$和$((A^{\ast }{)}^{\ast }{)}^{\ast }$

解：根据$A^{\ast }=|A|A^{-1}$，所以$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A^{\ast }|(A^{\ast }{)}^{-1}=|A{|}^{n-1}\frac{A}{|A|}=|A{|}^{n-2}A$

$((A^{\ast }{)}^{\ast }{)}^{\ast }=|A^{\ast }{|}^{n-2}{A}^{\ast }=(|A{|}^{n-1}{)}^{n-2}|A|A^{-1}=|A{|}^{n^2-3n+3}{A}^{-1}$