向量范数：1-范数、2-范数、无穷范数；矩阵范数；欧几里得度量

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• 欧几里得度量

又称为欧几里得距离，指的是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。

在欧几里得空间中，点$x=(x_1,...,x_n)$和$y=(y_1,...,y_n)$之间的欧氏距离为:
$$d(x,y)：=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\cdot \cdot \cdot +(x_n-y_n{)}^2}$$
向量$\vec{x}$的自然长度，即该点到原点的距离为
$$||\vec{x}|{|}_2=\sqrt{|x_1{|}^2+\cdot \cdot \cdot |x_n{|}^2}$$
它是一个纯数值。在欧几里得度量下，两点之间线段最短。

• 范数(norm)，是具有“长度”概念的函数。
  

  范数（维基百科）

  • 1-范数：向量元素绝对值之和

  $$||x|{|}_1=\sum _{i=1}^N|x_i|$$

  • 2-范数：Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方

  $$||X|{|}_2=\sqrt{\sum _{i-1}^N{x}_i^2}$$

  • $+\infty$范数：所有向量元素绝对值中的最大值

  $$||X|{|}_{+\infty }=\underset{i}{\max }|x_i|$$

  • $-\infty$范数：所有向量元素绝对值中的最小值

  $$||X|{|}_{-\infty }=\underset{i}{\min }|x_i|$$

  • p-范数：向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂

  $$||X|{|}_p=(\sum _{i=1}^N|x_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$$

• 矩阵范数

  • 1-范数：列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
  • 2-范数：谱范数，即A’A矩阵的最大特征值的开平方
  • $\infty$范数：行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值
  • F-范数：Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方
  • 核范数：矩阵A的奇异值

• Reference

1. 0 范数、1 范数、2 范数有什么区别？