7.4 一阶线性微分方程

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

第四节：一阶线性微分方程

在这一节中，我们将深入探讨一阶线性微分方程的定义、特性和解法，并举例说明如何运用数学公式和技巧解决这些问题。

一、线性方程

一阶线性微分方程形式为：

这是一个一阶方程，因为它对未知函数 𝑦y 及其导数只是一阶。根据 𝑄(𝑥)Q(x) 的值，该方程可以分为两类：

• 齐次方程：当 𝑄(𝑥)=0Q(x)=0 时，称为齐次线性微分方程。
• 非齐次方程：当 𝑄(𝑥)≠0Q(x)=0 时，称为非齐次线性微分方程。

要解非齐次方程 (4-1)，我们可以先找到对应的齐次方程：

这类方程的一个显著特性是，它可以通过变量分离法直接解决，得到其通解：

二、常数变易法

接下来，使用常数变易法找到非齐次方程 (4-1) 的解。首先，将齐次方程的通解中的常数 𝐶C 替换为一个未知函数 𝑢(𝑥)u(x)，即：

计算该表达式的导数：

代入原方程 (4-1)：

两边积分，得到 𝑢(𝑥)u(x)：

最终将其代入 (4-3)：

这个公式表示非齐次线性方程 (4-1) 的通解。通解可以分解为两部分：齐次线性方程的解和非齐次方程的一个特解之和。

三、应用实例

例1：解方程：

𝑑𝑦𝑑𝑥−2𝑦=𝑥+1(4-6)dxdy​−2y=x+1(4-6)

解：

1. 首先求解对应的齐次方程：

通解为：

1. 现在使用常数变易法，将 𝐶C 替换为未知函数 𝑢(𝑥)u(x)：

计算导数并代入原方程：

两边积分，得到：

𝑢(𝑥)=2(𝑥+1)+𝐶u(x)=2(x+1)+C

最后代入通解表达式：

例2：分析一个电路中的电流，电源的电动势为 𝐸=𝐸𝑚sin⁡(𝜔𝑡)E=Em​sin(ωt)，求解电流 𝑖(𝑡)i(t)。

设电路的电阻为 𝑅R，电感为 𝐿L，通过建立一阶线性微分方程，应用公式和电学知识来找到该问题的解。

四、总结

通过这节的学习，我们了解到一阶线性微分方程的结构以及齐次和非齐次方程的解法。特别是我们理解了常数变易法的重要性，它通过将齐次方程的通解中的常数变成一个待定函数，使得非齐次方程能够化简并得到解。

掌握这些方法可以帮助我们更好地处理电路和物理等问题中的一阶线性微分方程。

二、伯努利方程

伯努利方程是一种特殊类型的非线性微分方程，具有以下形式：

当 𝑛=0n=0 或 𝑛=1n=1 时，这变为一阶线性微分方程。而对于其他的 𝑛n，伯努利方程不是线性的。然而，通过一种巧妙的变量替换，我们可以将其转换成线性形式。

变量代换

为了化简伯努利方程，我们首先通过除以 𝑦𝑛yn 来改写方程：

接着，我们引入新变量 𝑧z，定义为：

因此，𝑦=𝑧11−𝑛y=z1−n1​。对 𝑧z 求导，我们得到：

将 𝑑𝑦𝑑𝑥dxdy​ 从方程 (4-11) 替换进来，我们得到：

这是一个线性微分方程，我们可以用标准方法求解。

求解过程

一旦我们解出 𝑧z 的通解，我们可以通过代入 𝑧=𝑦1−𝑛z=y1−n 逆推回 𝑦y 的表达式来找到伯努利方程的通解。

例4：求解特定伯努利方程

题目：求解方程

解：

首先，以 𝑦2y2 除方程两端：

令 𝑧=𝑦−1z=y−1 （这里 𝑛=2n=2，所以 1−𝑛=−11−n=−1），得到：

这是一个线性微分方程，其通解为：

还原 𝑦y 的表达式：

这就得到了原伯努利方程的通解。通过这种方法，伯努利方程的解析过程展示了从非线性转换到线性的强大策略，同时也体现了微分方程中变量替换的重要性。这种技术不仅解决了方程本身，还深化了我们对方程解结构的理解。