计算机图形学：曲线曲面基本理论

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1.几何造型介绍及曲线曲面的参数表示

1.1.几何造型介绍

计算机图形学可以分为三大部分内容，分别是光栅图形显示、几何造型技术和真实感图形显示。
①光栅图形学就是研究如何通过计算机的光栅显示屏来显示图形的方法，是图形学的基础。
②几何造型技术是研究在计算机中如何表达物体模型的技术。描述物体的模型可以分为线框模型、曲面模型和实体模型。线框模型通过顶点和棱边来表示物体曲面模型只描述物体的表面之间的连接关系，而不描述物体内部的点的属性。
③实体模型不但对物体的外观进行描述同时也描述物体的内点。
随着计算机图形学的发展，当前的主流是曲面模型，因此将其作为本章学习的重点。

1.2.曲线曲面的参数表示

1.2.1.曲线的非参数表示
曲线的非参数表示可以分为显式表示和隐式表示。
①对于平面曲线，其显示表示的方程如下：

在显式方程中一个x值和一个y值相对应，因此显式方程不能表示封闭或多值的平面曲线。
②平面曲线的隐式表示是指将平面曲线写成f(x,y)=0的形式。隐式表示的优点在于能够快速判断一个点是否在曲线上，但是隐函数表示不方便作图。
尽管被我们熟悉，但是非参数方程会有如下一些问题：首先方程与坐标轴相关（需要同时涉及两个以上的坐标轴）其次会产生斜率为无穷大的情况。考虑到非参数方程的这些不足之处，我们在图形学中需要考虑使用其他的表示方法。
1.2.2曲线的参数表示
如果平面曲线的各坐标均写成关于另一个参数t的函数，就可以得到如下图所示的曲线表示形式，该表示形式就是曲线的参数表示。这样，给定一个参数t的值，就可以得到曲线上一个点的坐标。

类似的，可以对空间曲线进行参数表示：

假设参数t的取值区间为[a,b]，为了方便起见，常常把区间[a,b]进行规范化，也就是将[a,b]区间转化为[0,1]，变换的方法为：

经过变换后的曲线可以写成如下形式：

最简单的参数曲线是直线段，其表示方法为如下图所示（其中p表示一个点的各个坐标轴的坐标值）

1.2.3.曲面的参数表示
与曲线的参数表示类似，曲面的参数表示要比曲线多一个参数，形式如下图所示：

2.参数曲线的基本概念

一条用参数表示的空间曲线是一个有界点集，可以写成如下所示的数学函数形式：

关于参数曲线，在微分几何中有一些重要的量定义如下：

1.位置矢量：用于描述空间曲线上任意一点的位置，可以表示为如下形式：