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拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理展示与证明
本文适合于工科课程不过于要求过程严谨、侧重应用的特点，且拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换适用于工科课程中的信号与系统、复变函数与积分变换、电路理论、自动控制原理以及计算机控制原理的基础部分，因此本文提供拉氏变换与拉氏逆变换的重要结论与定理，同时，也为对相关证明感兴趣的同学提供了结论与定理的证明，如果你觉得本文对你有所帮助，可收藏本文，但转载不被允许
一、定义与概念
1.1 拉普拉斯变换
设函数 f ( t ) f(t) f(t)是定义在 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞)上的实值函数，如果对于复参数 s = β + j w s=\beta+\text{j}w s=β+jw，积分
F ( s ) = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t (1) F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt\tag{1} F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt(1)
在复平面 s s s的某一个区域内收敛，则称 F ( s ) F(s) F(s)为 f ( t ) f(t) f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为 F ( s ) = L [ f ( t ) ] F(s)=\mathscr{L}[f(t)] F(s)=L[f(t)]，该函数被称为像函数。
1.2 拉普拉斯逆变换
已知函数 f ( t ) f(t) f(t)经过拉普拉斯变换后得到 F ( s ) F(s) F(s)，则原函数 f ( x ) f(x) f(x)可由 F ( s ) F(s) F(s)经过拉普拉斯逆变换得到:
f ( t ) = L − 1 [ F ( s ) ] = 1 2 π j ∫ β − j ∞ β + j ∞ F ( s ) e s t d s (2) f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}F(s)e^{st}\,ds\tag{2} f(t)=L−1[F(s)]=2πj1∫β−j∞β+j∞F(s)estds(2)
记 f ( t ) = L − 1 [ F ( s ) ] f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)] f(t)=L−1[F(s)]，此过程称为拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换）。
二、拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理
2.1 常用结论
| No. | Name of items | f ( t ) f(t) f(t) | F ( s ) \textit{F}(s) F(s) |
|---|---|---|---|
| 1 | unit impluse | δ ( t ) \delta(t) δ(t) | 1 |
| 2 | unit step | u ( t ) u(t) u(t) | 1 s \frac{1}{s} s1 |
| 3 | ramp | tu ( t ) \textit{tu}(t) tu(t) | 1 s 2 \frac{1}{s^{2}} s21 |
| 4 | exponential | e at u ( t ) e^{\textit{at}}\textit{u}(t) eatu(t) | 1 s − a \frac{1}{s-a} s−a1 |
| 5 | sine | sin w t \sin{wt} sinwt | w s 2 + w 2 \frac{w}{s^{2}+w^{2}} s2+w2w |
| 6 | cosine | cos w t \cos{wt} coswt | s s 2 + w 2 \frac{s}{s^{2}+w^{2}} s2+w2s |
| 7 | power | t m t^m tm | m ! s m + 1 \frac{m!}{s^{m+1}} sm+1m! |
2.2 经典定理
| No. | 定理&性质名称 | 表达式 |
|---|---|---|
| 1 | 线性性质 | L [ α f ( t ) + β g ( t ) ] = α F ( s ) + β G ( s ) \mathscr{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(s)+\beta G(s) L[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)，其中 α \alpha α和 β \beta β为常数 |
| 2 | 相似性质 | L [ f ( a t ) ] = 1 a F ( s a ) \mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a}) L[f(at)]=a1F(as)，其中 a a a为大于0的常数 |
| 3 | 微分之导数的像函数 | L [ f ( n ) ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f ′ ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) \mathscr{L}[{f}^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-{f}^{(n-1)}(0) L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0) |
| 4 | 微分之像函数的导数 | F ( n ) ( s ) = ( − 1 ) n L [ t n f ( t ) ] {F}^{(n)}(s)=(-1)^n\mathscr{L}[t^nf(t)] F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)] |
| 5 | 积分的像函数 | L [ ∫ 0 t d t ∫ 0 t d t ⋯ ∫ 0 t ⏟ n 个 f ( t ) d t ] = 1 s n F ( s ) \mathscr{L}[\underbrace{\int_0^tdt\int_0^tdt\cdots\int_0^t}_{n个}f(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s) L[n个 ∫0tdt∫0tdt⋯∫0tf(t)dt]=sn1F(s) |
| 6 | 像函数的积分 | ∫ s ∞ d s ∫ s ∞ d s ⋯ ∫ s ∞ ⏟ n 个 F ( s ) d s = L [ f ( t ) t n ] \underbrace{\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\cdots\int_s^\infty}_{n个} F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}] n个 ∫s∞ds∫s∞ds⋯∫s∞F(s)ds=L[tnf(t)] |
| 7 | 延迟性质 | L [ f ( t − τ ) ] = e − s τ F ( s ) \mathscr{L}[f(t-\tau)]=e^{-s\tau}F(s) L[f(t−τ)]=e−sτF(s) |
| 8 | 位移性质 | L [ e a t f ( t ) ] = F ( s − a ) \mathscr{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a) L[eatf(t)]=F(s−a) |
| 9 | 终值定理 | lim t → + ∞ f ( t ) = lim s → 0 s F ( s ) \lim\limits_{t \to +\infty}f(t)=\lim\limits_{s\to 0}sF(s) t→+∞limf(t)=s→0limsF(s) |
| 10 | 初值定理 | lim t → 0 + f ( t ) = lim s → + ∞ s F ( s ) \lim\limits_{t \to 0^+}f(t)=\lim\limits_{s\to +\infty}sF(s) t→0+limf(t)=s→+∞limsF(s) |
三、常用结论证明
3.1 Unit impluse function
已知函数 f ( t ) = δ ( t ) f(t)=\delta (t) f(t)=δ(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
已知 δ ( t ) \delta(t) δ(t)的定义如下：
δ ( t ) = { A − τ 2 ⩽ t ⩽ τ 2 0 t > ∣ τ 2 ∣ , 且 A τ = 1 , τ → 0 + \delta(t)=\left\{ \begin{aligned} A && -\frac{\tau}{2}\leqslant t\leqslant\frac{\tau}{2} \\ 0 && t> \left|\frac{\tau}{2} \right | \\ \end{aligned}\,\,,且A\tau=1,\tau\to0^+ \right. δ(t)=⎩
⎨
⎧A0−2τ⩽t⩽2τt>∣
∣2τ∣
∣,且Aτ=1,τ→0+
F ( s ) = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ δ ( t ) e − s t d t = ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) e − j w t d t = A ∫ − τ 2 τ 2 e − j w t d t = A − j w ( e − j w τ 2 − e j w τ 2 ) = 2 A w sin w τ 2 = lim τ → 0 + 2 sin w τ 2 w t = 1 \begin{aligned} F(s)&=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt\\&=\int_0^{+\infty}\delta(t)e^{-st}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)e^{-jwt}dt\\&=A\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}e^{-jwt}dt\\ &=\frac{A}{-jw}\left(e^{-jw\frac{\tau}{2}}-e^{jw\frac{\tau}{2}}\right)\\&=\frac{2A}{w}\sin\frac{w\tau}{2}\\ &=\lim\limits_{\tau\to0^+}\frac{2\sin\frac{w\tau}{2}}{wt}\\&=1 \end{aligned} F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞δ(t)e−stdt=∫−∞+∞δ(t)e−jwtdt=A∫−2τ2τe−jwtdt=−jwA(e−jw2τ−ejw2τ)=w2Asin2wτ=τ→0+limwt2sin2wτ=1
证毕
3.2 Unit step function
已知函数 f ( t ) = u ( t ) f(t)=u(t) f(t)=u(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F ( s ) = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ u ( t ) e − s t d t = − 1 s e − s t ∣ 0 + ∞ = 1 s F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt=\int_0^{+\infty}u(t)e^{-st}dt=-\frac{1}{s}e^{-st}\big|_0^{+\infty}=\frac{1}{s} F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞u(t)e−stdt=−s1e−st∣
∣0+∞=s1
证毕
3.3 Ramp function
已知函数 f ( t ) = t u ( t ) f(t)=tu(t) f(t)=tu(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F ( s ) = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ t u ( t ) e − s t d t = − 1 s ∫ 0 + ∞ t d ( e − s t ) = − 1 s [ t e − s t ∣ 0 + ∞ − ∫ 0 + ∞ e − s t d t ] = 1 s 2 \begin{aligned} F(s)&=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt\\ &=\int_0^{+\infty}tu(t)e^{-st}dt\\ &=-\frac{1}{s}\int_0^{+\infty}td(e^{-st})\\ &=-\frac{1}{s}\left[te^{-st}\big|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}e^{-st}dt\right]\\&=\frac{1}{s^2} \end{aligned} F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞tu(t)e−stdt=−s1∫0+∞td(e−st)=−s1[te−st∣
∣0+∞−∫0+∞e−stdt]=s21
证毕
3.4 Exponential function
已知函数 f ( t ) = e a t u ( t ) f(t)=e^{at}u(t) f(t)=eatu(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F ( s ) = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ e a t u ( t ) e − s t d t = 1 a − s e ( a − s ) t ∣ 0 + ∞ = 1 s − a F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt=\int_0^{+\infty}e^{at}u(t)e^{-st}dt=\frac{1}{a-s}e^{(a-s)t}\big|_0^{+\infty}=\frac{1}{s-a} F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞eatu(t)e−stdt=a−s1e(a−s)t∣
∣0+∞=s−a1
证毕
3.5 Sine function
已知函数 f ( t ) = sin w t f(t)=\sin wt f(t)=sinwt，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F ( s ) = L [ sin w t ] = 1 2 j ( L [ e j w t ] − L [ e − j w t ] ) = 1 2 j ( 1 s − j w − 1 s + j w ) = w s 2 + w 2 \begin{aligned} F(s)&=\mathscr{L}[\sin wt]=\frac{1}{2j}\left(\mathscr{L}[e^{jwt}]-\mathscr{L}[e^{-jwt}]\right)\\&=\frac{1}{2j}\left(\frac{1}{s-jw}-\frac{1}{s+jw}\right)=\frac{w}{s^2+w^2} \end{aligned} F(s)=L[sinwt]=2j1(L[ejwt]−L[e−jwt])=2j1(s−jw1−s+jw1)=s2+w2w
证毕
3.6 Cosine function
已知函数 f ( t ) = cos w t f(t)=\cos wt f(t)=coswt，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F ( s ) = L [ cos w t ] = 1 2 ( L [ e j w t ] + L [ e − j w t ] ) = 1 2 ( 1 s − j w + 1 s + j w ) = s s 2 + w 2 \begin{aligned} F(s)&=\mathscr{L}[\cos wt]=\frac{1}{2}\left(\mathscr{L}[e^{jwt}]+\mathscr{L}[e^{-jwt}]\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-jw}+\frac{1}{s+jw}\right)=\frac{s}{s^2+w^2} \end{aligned} F(s)=L[coswt]=21(L[ejwt]+L[e−jwt])=21(s−jw1+s+jw1)=s2+w2s
证毕
3.7 Power function
已知函数 f ( t ) = t m f(t)=t^m f(t)=tm，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F ( s ) = L [ t m ] = ∫ 0 + ∞ t m e − s t d t = − 1 s ∫ 0 + ∞ t m d ( e − s t ) = − 1 s t m e − s t ∣ 0 + ∞ + m s ∫ 0 + ∞ t m − 1 e − s t d t = m s L [ t m − 1 ] = m ( m − 1 ) s 2 L [ t m − 2 ] ⋮ = m ! s m L [ t 0 ] = m ! s m + 1 \begin{aligned} F(s)&=\mathscr{L}[t^m]\\&=\int_0^{+\infty}t^me^{-st}dt\\&=-\frac{1}{s}\int_0^{+\infty}t^md(e^{-st})\\ &=-\frac{1}{s}t^me^{-st}\big|_0^{+\infty}+\frac{m}{s}\int_0^{+\infty}t^{m-1}e^{-st}dt\\ &=\frac{m}{s}\mathscr{L}[t^{m-1}]\\&=\frac{m(m-1)}{s^2}\mathscr{L}[t^{m-2}]\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vdots\\ &=\frac{m!}{s^m}\mathscr{L}[t^0]\\&=\frac{m!}{s^{m+1}} \end{aligned} F(s)=L[tm]=∫0+∞tme−stdt=−s1∫0+∞tmd(e−st)=−s1tme−st∣
∣0+∞+sm∫0+∞tm−1e−stdt=smL[tm−1]=s2m(m−1)L[tm−2]⋮=smm!L[t0]=sm+1m!
证毕
四、经典定理证明
4.1 线性性质
设 α , β \alpha,\beta α,β为常数，且有 L [ f ( t ) ] = F ( s ) , L [ g ( t ) ] = G ( s ) \mathscr{L}[f(t)]=F(s),\mathscr{L}[g(t)]=G(s) L[f(t)]=F(s),L[g(t)]=G(s)，则有
L [ α f ( t ) + β g ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ ( α f ( t ) + β g ( t ) ) e − s t d t = α ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t + β ∫ 0 + ∞ g ( t ) e − s t d t = α F ( s ) + β G ( s ) \begin{aligned} \mathscr{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]&=\int_0^{+\infty}\left(\alpha f(t)+\beta g(t)\right)e^{-st}dt\\ &=\alpha \int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt+\beta \int_0^{+\infty}g(t)e^{-st}dt\\ &=\alpha F(s)+\beta G(s) \end{aligned} L[αf(t)+βg(t)]=∫0+∞(αf(t)+βg(t))e−stdt=α∫0+∞f(t)e−stdt+β∫0+∞g(t)e−stdt=αF(s)+βG(s)
证毕
4.2 相似性质
设 L [ f ( t ) ] = F ( s ) \mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s) L[f(t)]=F(s)，则对任一常数 a > 0 a>0 a>0有
L [ f ( a t ) ] = ∫ 0 + ∞ f ( a t ) e − s t d t = 令 x = a t 1 a ∫ 0 + ∞ f ( x ) e − ( s a ) x d x = 1 a F ( s a ) \begin{aligned} \mathscr{L}[f(at)]&=\int_0^{+\infty}f(at)e^{-st}dt\\& \xlongequal{令x=at}\frac{1}{a}\int_0^{+\infty}f(x)e^{-(\frac{s}{a})x}dx\\&=\frac{1}{a}F\left({\frac{s}{a}}\right) \end{aligned} L[f(at)]=∫0+∞f(at)e−stdt令x=ata1∫0+∞f(x)e−(as)xdx=a1F(as)
证毕
4.3 微分之导数的像函数
设 L [ f ( t ) ] = F ( s ) \mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s) L[f(t)]=F(s)，则有
L [ f ′ ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ f ′ ( t ) e − s t d t = 分部积分 f ( t ) e − s t ∣ 0 + ∞ + s ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t = s F ( s ) − f ( 0 ) \begin{aligned} \mathscr{L}[f'(t)]&=\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt\\ &\xlongequal{分部积分}f(t)e^{-st}\big|_0^{+\infty}+s\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\ &=sF(s)-f(0) \end{aligned} L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt分部积分f(t)e−st∣
∣0+∞+s∫0+∞f(t)e−stdt=sF(s)−f(0)
经过数学归纳法可得：
L [ f ( n ) ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f ′ ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) \mathscr{L}[{f}^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-{f}^{(n-1)}(0) L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0)
证毕
4.4 微分之像函数的导数
设 L [ f ( t ) ] = F ( s ) \mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s) L[f(t)]=F(s)，则有
F ′ ( s ) = d d s ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ ∂ ∂ s [ f ( t ) e − s t ] d t = − ∫ 0 + ∞ t f ( t ) e − s t d t = − L [ t f ( t ) ] \begin{aligned} F'(s)&=\frac{d}{ds}\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\&=\int_0^{+\infty}\frac{\partial}{\partial s}\left[f(t)e^{-st}\right]dt\\ &=-\int_0^{+\infty}tf(t)e^{-st}dt\\ &=-\mathscr{L}[tf(t)] \end{aligned} F′(s)=dsd∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞∂s∂[f(t)e−st]dt=−∫0+∞tf(t)e−stdt=−L[tf(t)]
对 F ( s ) F(s) F(s)施行同样步骤，反复进行可得：
F ( n ) ( s ) = ( − 1 ) n L [ t n f ( t ) ] {F}^{(n)}(s)=(-1)^n\mathscr{L}[t^nf(t)] F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)]
证毕
4.5 积分的像函数
设 L [ f ( t ) ] = F ( s ) , g ( t ) = ∫ 0 t f ( t ) d t \mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s),g(t)=\int_0^tf(t)dt L[f(t)]=F(s),g(t)=∫0tf(t)dt，则 g ′ ( t ) = f ( t ) g'(t)=f(t) g′(t)=f(t)，且 g ( 0 ) = 0 g(0)=0 g(0)=0，利用微分之导数的像函数可得：
L [ g ′ ( t ) ] = s L [ g ( t ) ] − g ( 0 ) = s L [ g ( t ) ] = s L [ ∫ 0 t f ( t ) d t ] \mathscr{L}[g'(t)]=s\mathscr{L}[g(t)]-g(0)=s\mathscr{L}[g(t)]=s\mathscr{L}\left[\int_0^tf(t)dt\right] L[g′(t)]=sL[g(t)]−g(0)=sL[g(t)]=sL[∫0tf(t)dt]
即有 L [ ∫ 0 t f ( t ) d t ] = 1 s F ( s ) \mathscr{L}\left[\int_0^tf(t)dt\right]=\frac{1}{s}F(s) L[∫0tf(t)dt]=s1F(s)，反复利用上式可得：
L [ ∫ 0 t d t ∫ 0 t d t ⋯ ∫ 0 t ⏟ n 个 f ( t ) d t ] = 1 s n F ( s ) \mathscr{L}[\underbrace{\int_0^tdt\int_0^tdt\cdots\int_0^t}_{n个}f(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s) L[n个
∫0tdt∫0tdt⋯∫0tf(t)dt]=sn1F(s)
证毕
4.6 像函数的积分
设 L [ f ( t ) ] = F ( s ) \mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s) L[f(t)]=F(s)，则有
∫ s + ∞ F ( s ) d s = ∫ s + ∞ [ ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t ] d s = ∫ 0 + ∞ f ( t ) [ ∫ s + ∞ e − s t d s ] d t = ∫ 0 + ∞ f ( t ) ⋅ [ − 1 t e − s t ] ∣ s + ∞ d t = ∫ 0 + ∞ f ( t ) t e − s t = L [ f ( t ) t ] \begin{aligned} \int_s^{+\infty}F(s)ds&=\int_s^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\right]ds\\ &=\int_0^{+\infty}f(t)\left[\int_s^{+\infty}e^{-st}ds\right]dt\\ &=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot\left[-\frac{1}{t}e^{-st}\right]\big|_s^{+\infty}dt\\ &=\int_0^{+\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\\ &=\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right] \end{aligned} ∫s+∞F(s)ds=∫s+∞[∫0+∞f(t)e−stdt]ds=∫0+∞f(t)[∫s+∞e−stds]dt=∫0+∞f(t)⋅[−t1e−st]∣
∣s+∞dt=∫0+∞tf(t)e−st=L[tf(t)]
反复利用上式可得：
∫ s ∞ d s ∫ s ∞ d s ⋯ ∫ s ∞ ⏟ n 个 F ( s ) d s = L [ f ( t ) t n ] \underbrace{\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\cdots\int_s^\infty}_{n个} F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}] n个
∫s∞ds∫s∞ds⋯∫s∞F(s)ds=L[tnf(t)]
证毕
4.7 延迟性质
设 L [ f ( t ) ] = F ( s ) \mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s) L[f(t)]=F(s)，当 t < 0 t<0 t<0时， f ( t ) = 0 f(t)=0 f(t)=0，则对任一非负实数 τ \tau τ有
L [ f ( t − τ ) ] = ∫ 0 + ∞ f ( t − τ ) e − s t d t = ∫ τ + ∞ f ( t − τ ) e − s t d t \mathscr{L}[f(t-\tau)]=\int_0^{+\infty}f(t-\tau)e^{-st}dt=\int_\tau^{+\infty}f(t-\tau)e^{-st}dt L[f(t−τ)]=∫0+∞f(t−τ)e−stdt=∫τ+∞f(t−τ)e−stdt
令 t 1 = t − τ t_1=t-\tau t1=t−τ有
L = ∫ 0 + ∞ f ( t 1 ) e − s ( t 1 + τ ) d t 1 = e − s τ ∫ 0 + ∞ f ( t 1 ) e − s t 1 d t 1 = e − s τ F ( s ) \mathscr{L}=\int_0^{+\infty}f(t_1)e^{-s(t_1+\tau)}dt_1=e^{-s\tau}\int_0^{+\infty}f(t_1)e^{-st_1}dt_1=e^{-s\tau}F(s) L=∫0+∞f(t1)e−s(t1+τ)dt1=e−sτ∫0+∞f(t1)e−st1dt1=e−sτF(s)
证毕
4.8 位移性质
设 L [ f ( t ) ] = F ( s ) \mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s) L[f(t)]=F(s)，则有
L [ e a t f ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ e a t f ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − ( s − a ) t d t = F ( s − a ) \mathscr{L}[e^{at}f(t)]=\int_0^{+\infty}e^{at}f(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-(s-a)t}dt=F(s-a) L[eatf(t)]=∫0+∞eatf(t)e−stdt=∫0+∞f(t)e−(s−a)tdt=F(s−a)
证毕
4.9 终值定理
从拉普拉斯变换的微分性质我们知道以下一个简单的等式：
L [ f ′ ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ f ′ ( t ) e − s t d t = s F ( s ) − f ( 0 ) \mathscr{L}[f'(t)]=\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0) L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt=sF(s)−f(0)
我们将等式两边取极限 s → 0 s\to0 s→0，可得
lim s → 0 ∫ 0 + ∞ f ′ ( t ) e − s t d t = ∫ 0 + ∞ f ′ ( t ) d t = lim t → + ∞ f ( t ) − f ( 0 ) = lim s → 0 s F ( s ) − f ( 0 ) \lim\limits_{s\to0}\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f'(t)dt=\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)-f(0)=\lim\limits_{s\to0}sF(s)-f(0) s→0lim∫0+∞f′(t)e−stdt=∫0+∞f′(t)dt=t→+∞limf(t)−f(0)=s→0limsF(s)−f(0)
化简可得：
f ( + ∞ ) = lim t → + ∞ f ( t ) = lim s → 0 s F ( s ) f(+\infty)=\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=\lim\limits_{s\to0}sF(s) f(+∞)=t→+∞limf(t)=s→0limsF(s)
证毕
4.10 初值定理
从拉普拉斯变换的微分性质我们知道以下一个简单的等式：
L [ f ′ ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ f ′ ( t ) e − s t d t = s F ( s ) − f ( 0 ) \mathscr{L}[f'(t)]=\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0) L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt=sF(s)−f(0)
我们将等式两边取极限 s → + ∞ s\to+\infty s→+∞，可得
lim s → + ∞ ∫ 0 + ∞ f ′ ( t ) e − s t d t = 0 = lim s → + ∞ s F ( s ) − f ( 0 ) \lim\limits_{s\to+\infty}\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=0=\lim\limits_{s\to+\infty}sF(s)-f(0) s→+∞lim∫0+∞f′(t)e−stdt=0=s→+∞limsF(s)−f(0)
因此，我们可以得到：
lim t → 0 + f ( t ) = f ( 0 ) = lim s → + ∞ s F ( s ) \lim\limits_{t\to0^+}f(t)=f(0)=\lim\limits_{s\to+\infty}sF(s) t→0+limf(t)=f(0)=s→+∞limsF(s)
证毕
参考文献
[1]李红, 谢松法. 复变函数与积分变换.第4版[M]. 高等教育出版社, 2013.
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