因数分解与算术基本定理

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1 素数整除性质

  我们知道，素数$p$（$p\ge 2$）是正因数仅有$1$和$p$的数，不是素数的整数$m$（$m\ge 2$）叫做合数：
$$\begin{gathered} 素数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\cdots \\ 合数:4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,\cdots \end{gathered}$$
下面这条引理是很重要的，但并不显然。

  引理：令$p$是素数，假设$p$整除乘积$ab$，则$p$整除$a$或$p$整除$b$。下面来证明这条引理。

证明：
  如果$p$整除$a$，则证明完毕。现在假设$p$不整除$a$。考虑$gcd(a,p)$，既然它整除$p$那么它就是$1$或$p$，又因为$p$不整除$a$，所以$gcd(a,p)=1$。根据线性方程定理，我们可以求得方程：
$$px+ay=1$$
的整数解$x,y$，现在方程两边同时乘以$b$得到：
$$pbx+aby=b$$
显然$p$整除$pbx$，又因为我们已知$p$整除$aby$，所以$p$整除$b$。

  进一步，我们可以将这条引理推广到多个因数的乘积形式，就得到了下面这条定理。

  定理（素数整除性质）：假设素数$p$整除乘积$a_1{a}_2\cdots a_r$，则$p$整除$a_1,a_2,\cdots ,a_r$中至少一个因数。

利用上述引理可以很容易地证明这条定理。

2 算术基本定理

  算术基本定理：每个整数$n\ge 2$可唯一分解成素数乘积：$n=p_1{p}_2\cdots p_r$。

  这里分解出来的素数乘积并非指不同的素数，例如$300=2\ast 2\ast 3\ast 5\ast 5$，并且不认为因数重排是新的因数分解。下面来证明该定理。

证明：
  首先证明数$n$可以以某种方式分解成素数乘积，利用数学归纳法。首先$2=2,3=3,4=2\ast 2$成立，假设对于$n\le N$都成立，我们需要验证$N+1$时结论成立。

  因此就有两种可能性，首先如果$N+1$是素数，那么它本身就已经分解成素数；其次$N+1$是合数，这表明$N+1$可分解为$n_1{n}_2$（$2\le n_1,n_2\le N$），根据假设，$n_1,n_2$都可以分解成素数的乘积：
$$\begin{gathered} n_1=p_1{p}_2\cdots p_r \\ {n}_2=q_1{q}_2\cdots q_r \end{gathered}$$
因此$N+1=p_1{p}_2\cdots p_r{q}_1{q}_2\cdots q_r$，所以$N+1$也可以分解成素数的乘积，得证。

  接下来证明唯一性，即只有一种这样的因数分解。我们假设$n$能够被分解为两种形式的素数乘积：
$$\begin{gathered} n=p_1{p}_2\cdots p_r \\ n=q_1{q}_2\cdots q_s \end{gathered}$$

首先，$p_1|n$，所以$p_1|q_1{q}_2\cdots q_s$，根据上面提到的素数整除性质，$p_1$整除至少一个$q_i$，不妨让它等于$q_1$，又因为$q_1$也是素数，因此$p_1=q_1$，这样我们就可以同时消掉$p_1,q_1$得：
$$p_2\cdots p_r=q_2\cdots q_s$$
同理我们可以消去$p_2,p_3,\cdots$，如果左边的$p$先被消去，那么左边就是$1$，因此右边也应该是$1$，所以这两个分解的因数个数是相同的即$r=s$，并且重排一个序列可以得到另外一个序列。所以唯一性也得到了证明。

3 因数分解的方法

  当$n$很小时，我们可以挨个试，但是$n$比较大的时候，因数分解就很困难了。一种方法是用素数$2,3,5,7,\cdots$去除$n$，知道找到一个因数，再对剩余部分继续尝试。

  如果$n$本身不是素数，则必有整除$n$的素数$p\le \sqrt{n}$。因为如果$p$是整除$n$的最小素数，则$n=pm,m\ge p$，从而$n=pm\ge p^2$，两边同时开平方就可以得到这个结论。这个结论给出了将任何整数$n$分解成素数乘积的方法：

用小于等于$\sqrt{n}$的每个数（或正好每个素数）试除它。如果没有求得整除$n$的整数，则$n$本身是素数，否则求得的第一个因数是素数$p$，再对$m=n/p$重复这个过程。

这个过程效率非常低，但是对适当大小的数，在计算机上工作得还是很好的。但是对非常非常大的数，要计算出因数分解，就需要很长时间了。因此就产生了两个紧密相关的问题：

1. 如何分辨已知数$n$是素数还是合数？
2. 如果$n$是合数，如何将它分解成素数的乘积？

第一个问题更容易回答，即便求不出来大数的因数，我们以可以知道它是否是合数。用类似的方式我们可以求得很大的素数$p,q$这样如果给定一个$n=pq$，就不可能通过分解$n$来获得数$p$与$q$。这个事实也是用数论建立高度安全密码的关键所在。

4 参考资料

• 《数论概论》第四版 P31-P35