2.2 矩阵的逆（第2章矩阵代数）

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内容概述

本章首先由倒数的概念，引申出逆矩阵的概念。接着讲解了利用行列式来计算二阶方阵逆矩阵的方法。接下来，讲解了可逆矩阵对应线性方程解的唯一性，以及可逆矩阵的几个有用的性质。本章的最后，讲解了计算逆矩阵的一种通用方法，即利用初等矩阵来计算逆矩阵。

由倒数引申出矩阵的逆

假设有一个实数$5$，$5$的乘法逆是$1/5$或$5^{-1}$，它满足方程：$5^{-1}\cdot 5=1$和$5\cdot 5^{-1}=1$，矩阵对逆的一般化也要求两个方程同时成立，所以当且仅当矩阵是方阵时，矩阵才有可能可逆（因为矩阵乘法要求左边矩阵的列等于右边矩阵的行，如果某个矩阵能同时满足左乘和右乘，那么只能是$n\times n$方阵）
定义：

一个$n\times n$矩阵$A$是可逆的，若存在一个$n\times n$矩阵$C$，使得：
$$CA=\mathbf{I}$$
且
$$AC=\mathbf{I}$$
其中$\mathbf{I}={\mathbf{I}}_n$是$n\times n$单位矩阵。这时称$C$是$A$的逆。

实际上，$C$由$A$唯一确定，因为若$B$是另一个$A$的逆，那么将有$B=B\mathbf{I}=B(AC)=(BA)C=\mathbf{I}C=C$。于是，若$A$可逆，它的逆是唯一的，我们将它记为$A^{-1}$，于是：
$$A^{-1}A=\mathbf{I}$$
且
$$A{A}^{-1}=\mathbf{I}$$
不可逆矩阵被称为奇异矩阵，而可逆矩阵也可称作非奇异矩阵。
例：

若$A=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ -3& -7\end{array}\right]$, $C=\left[\begin{array}{cc}-7& -5\\ 3& 2\end{array}\right]$，则：
$$AC=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ -3& -7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-7& -5\\ 3& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
$$CA=\left[\begin{array}{cc}-7& -5\\ 3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ -3& -7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
所以，$C=A^{-1}$

行列式

定理：

设$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，若$ad-bc\ne 0$，则$A$可逆且
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$
若$ad-bc=0$，则$A$不可逆

定理的证明可以通过上述逆矩阵的定义公式来进行。数$ad-bc$称为$A$的行列式，记为：
$$detA=ad-bc$$
当且仅当$detA\ne 0$时，上述$2\times 2$矩阵$A$可逆。
例：

求$A=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$的逆

解：

因为$detA=3(6)-4(5)=-2\ne 0$，所以$A$可逆，且：
$A^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}6& -4\\ -5& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5/2& -3/2\end{array}\right]$

可逆矩阵对应线性方程解的唯一性

定理：

若$A$是可逆$n\times n$矩阵，则对每一${\mathbb{R}}^n$中的$\mathbf{b}$，方程$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$

证明：

先证明$A^{-1}\mathbf{b}$是方程的一个解：
因为$A$可逆，那么若以$A^{-1}\mathbf{b}$代替$\mathbf{x}$，有：$A\mathbf{x}=A(A^{-1}\mathbf{b})=(A{A}^{-1})\mathbf{b}=\mathbf{I}\mathbf{b}=\mathbf{b}$，所以$A^{-1}\mathbf{b}$是方程的一个解。
再证明解的唯一性：
假设$\mathbf{u}$是方程的任意一个解，那么有：$A\mathbf{u}=\mathbf{b}$，由于$A$可逆，那么方程两边同时乘以$A^{-1}$得：$A^{-1}A\mathbf{u}=A^{-1}\mathbf{b}$，进一步推导有：$\mathbf{I}\mathbf{u}=A^{-1}\mathbf{b}$，也就是：$\mathbf{u}=A^{-1}\mathbf{b}$
得证

上述定理很少用来解方程$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，因为$\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right]$的行化简通常更快。一个可能的例外是$2\times 2$矩阵，因为这时利用行列式计算$A^{-1}$相对比较容易。
例：

求解方程组：
$$\begin{array}{r}3x_1+4x_2=3\\ 5x_1+6x_2=7\end{array}$$

解:

$$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5/2& -3/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ -3\end{array}\right]$$

可逆矩阵的几个性质

1. 若$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也可逆而且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$
2. 若$A$和$B$都是可逆矩阵，则$AB$也可逆，且其逆是$A$和$B$的逆矩阵按相反顺序的乘积，即：$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
3. 若$A$可逆，则$A^T$也可逆，且其逆是$A^{-1}$的转置，即$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

简单证明上述第2个性质：

从逆矩阵定义出发，要证明$B^{-1}{A}^{-1}$是$AB$的逆矩阵，则要证明$AB$左乘和右乘$B^{-1}{A}^{-1}$的积都是$\mathbf{I}$。以右乘为例：$(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=A\mathbf{I}{A}^{-1}=A{A}^{-1}=\mathbf{I}$。同理可以证明左乘的情况一样成立。

初等矩阵

定义：

把单位矩阵进行一次初等行变换，就得到初等矩阵。

例：

下面$E_1$是一个对应倍加变换的初等矩阵：
$$E_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 0& 1\end{array}\right]$$
下面$E_2$是一个对应对换变换的初等矩阵：
$$E_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
下面$E_3$是一个对应倍乘变换的初等矩阵：
$$E_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$
假设有一个矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$，观察$E_{1}A$，$E_{2}A$，$E_{3}A$所起的作用。

解：

经过计算可知：
$$E_{1}A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g-4a& h-4a& i-4c\end{array}\right]$$
$$E_{2}A=\left[\begin{array}{ccc}d& e& f\\ a& b& c\\ g& h& i\end{array}\right]$$
$$E_{3}A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ 5g& 5h& 5i\end{array}\right]$$
从上述可知，这些乘积可由$A$进行$E_i$暗含的初等行变换得到。

还需注意：

1. 把$3\times n$矩阵左乘以（即在左边相乘）上述$E_i$，均会产生相应的效果。
2. 特别地，$E_i\mathbf{I}=E_i$，也就是说，$E_i$本身是把单位矩阵以同一行变换作用所得。
   因此可以得到如下的一般结论：

若对$m\times n$矩阵$A$进行某种初等行变换，所得矩阵可写成$EA$，其中$E$是$m\times m$矩阵，是由${\mathbf{I}}_m$进行统一行变换所得。

因为行变换是可逆的，故初等矩阵也是可逆的。若$E$是由$\mathbf{I}$进行行变换所得，则有同一类型的另一行变换把$E$变回$\mathbf{I}$。因此，由初等矩阵$F$，使得$FE=\mathbf{I}$。因为$E$和$F$对应于互逆的变换，所以也有$EF=\mathbf{I}$。

每个初等矩阵$E$是可逆的，$E$的逆是一个同类型的初等矩阵，它把$E$变回$\mathbf{I}$。

例：

求$E_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 0& 1\end{array}\right]$的逆。

解：

为把$E_1$变成$\mathbf{I}$，需要把第1行的4倍加到第3行，这相应于初等矩阵：
$$F=E_1^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 4& 0& 1\end{array}\right]$$

矩阵可逆的判定以及逆矩阵的计算方法

定理：

$n\times n$矩阵$A$是可逆的，当且仅当$A$行等价于${\mathbf{I}}_n$，这时，把$A$化简为${\mathbf{I}}_n$的一系列初等行比那换同时把${\mathbf{I}}_n$变成$A^{-1}$

证明：

设$A$是可逆矩阵，则对任意$\mathbf{b}$，方程$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解（参照本文前半段的定理），这就说明，$A$在每一行有一个主元位置。又因为$A$是方阵，所以这$n$个主元位置必在对角线上，相应的，$A$的简化阶梯形是${\mathbf{I}}_n$，即$A\sim {\mathbf{I}}_n$。
反之，若$A\sim {\mathbf{I}}_n$，则因为每一步行化简对应于左乘一个初等矩阵，所以存在初等矩阵$E_1,\cdots ,E_p$，使得：
$$A\sim E_{1}A\sim E_2(E_{1}A)\sim \cdots \sim E_p(E_{p-1}\cdots E_{1}A)={\mathbf{I}}_n$$
即：
$$E_p{E}_{p-1}\cdots E_{1}A={\mathbf{I}}_n$$
因为$E_p\cdots E_1$是可逆矩阵的乘积，因此其也是可逆矩阵（这点可以参考上述的两点知识：1. 初等矩阵是可逆的；2. 如果两个矩阵是可逆的，那么两个矩阵的乘积也是可逆的），那么可以根据上式推出：
$$\begin{array}{rl}(E_p\cdots E_1{)}^{-1}(E_p\cdots E_1)A& =(E_p\cdots E_1{)}^{-1}{\mathbf{I}}_n\\ A& =(E_p\cdots E_1{)}^{-1}\end{array}$$
这说明了$A$是可逆矩阵$E_p\cdots E_1$的逆，又由于上述定理所述（可逆矩阵的逆矩阵也可逆），有：
$$A^{-1}=[(E_p\cdots E_1{)}^{-1}{]}^{-1}=E_p\cdots E_1$$

由上述定理的证明过程，自然而然可以引出计算矩阵逆矩阵的一种方法：

把$A$和$\mathbf{I}$排在一起构成增广矩阵$\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{I}\end{array}\right]$，则对此矩阵进行行变换时，$A$和$\mathbf{I}$收到同一变换。要么有一系列的行变换把$A$变成$\mathbf{I}$，同时把$\mathbf{I}$变成$A^{-1}$，要么$A$是不可逆的。

精确描述如下：

把增广矩阵$\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{I}\end{array}\right]$进行行化简。若$A$行等价于$\mathbf{I}$，则$\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{I}\end{array}\right]$行等价于$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{I}& A^{-1}\end{array}\right]$，否则$A$没有逆。

例：

求矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 0& 3\\ 4& -3& 8\end{array}\right]$的逆，假如它存在。

解：

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{I}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 2& 1& 0& 0\\ 1& 0& 3& 0& 1& 0\\ 4& -3& 8& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ & \sim \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -9/2& 7& -3/2\\ 0& 1& 0& -2& 4& -1\\ 0& 0& 1& 3/2& -2& 1/2\end{array}\right]\end{array}$$
由上述定理，可知$A$可逆，且：
$$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-9/2& 7& -3/2\\ -2& 4& -1\\ 3/2& -2& 1/2\end{array}\right]$$

可逆矩阵的另一个观点

假设$A$可逆，那么有：$A{A}^{-1}=\mathbf{I}$。由矩阵乘法的定义，$A$乘以$A^{-1}$，就是用$A$去乘以$A^{-1}$的每一列。假设$A^{-1}$的每一行按序号为${\mathbf{x}}_i$，那么有：$\left[\begin{array}{cccc}A{\mathbf{x}}_1& A{\mathbf{x}}_2& \cdots & A{\mathbf{x}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_2& \cdots & {\mathbf{e}}_n\end{array}\right]$。要求解逆矩阵$A^{-1}$的某一列${\mathbf{x}}_i$，只需要求解方程
$$A{\mathbf{x}}_i={\mathbf{e}}_i$$
即可。这一点是很有用的，因为在某些问题中，只需要$A^{-1}$的一列或两列。